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La diagonalisation et la trigonalisation sont deux concepts fondamentaux en algèbre linéaire, essentiels pour comprendre les propriétés des matrices et des endomorphismes. Ces techniques permettent de simplifier les calculs complexes, comme les puissances de matrices ou l'étude des transformations linéaires. Ce cours détaillé explore les définitions, théorèmes, méthodes et exemples pratiques, adaptés aux étudiants en mathématiques et en sciences. Maîtrisez ces outils indispensables pour résoudre des problèmes liés aux valeurs propres, vecteurs propres et à la structure des matrices.
Diagonalisation des endomorphismes et matrices
La diagonalisation est une opération fondamentale en algèbre linéaire. Elle consiste à transformer une matrice carrée en une matrice diagonale à l’aide d’une base de vecteurs propres. Cette propriété simplifie de nombreux calculs, comme l’élévation de matrices à une puissance ou l’analyse spectrale.
Définition de la diagonalisation
Une matrice \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) est dite diagonalisable s’il existe une matrice inversible \( P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) telle que :
\( P^{-1}AP = D \)
où \( D \) est une matrice diagonale. Cela signifie que les colonnes de \( P \) sont des vecteurs propres de \( A \), et les valeurs diagonales de \( D \) correspondent aux valeurs propres associées.
Conditions nécessaires et suffisantes
Théorème : Une matrice carrée \( A \) est diagonalisable si et seulement si :
- Le polynôme caractéristique de \( A \) est scindé sur le corps \( \mathbb{K} \).
- Pour chaque valeur propre \( \lambda \), la multiplicité géométrique (dimension de \( \ker(A - \lambda I) \)) est égale à sa multiplicité algébrique (multiplicité de \( \lambda \) comme racine du polynôme caractéristique).
En termes d'endomorphismes, cela revient à dire que \( A \) admet une base formée de vecteurs propres.
Exemple illustratif
Soit la matrice :
\( A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \)
1. Calculons le polynôme caractéristique :
\( \chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 5)(\lambda - 2) \)
Les valeurs propres sont \( \lambda_1 = 5 \) et \( \lambda_2 = 2 \).
2. Déterminons les vecteurs propres associés :
- Pour \( \lambda_1 = 5 \), résolvons \( (A - 5I)v = 0 \) :
- Pour \( \lambda_2 = 2 \), résolvons \( (A - 2I)v = 0 \) :
\[ v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]
\[ v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]
3. La matrice de passage est :
\[ P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]
4. Vérifions \( P^{-1}AP \) :
\[ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]
La matrice est diagonalisée avec \( D = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \).
Remarque importante
Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable dans une base orthonormée. Cela découle du théorème spectral.
Trigonalisation des endomorphismes et matrices
La trigonalisation est une généralisation de la diagonalisation. Elle consiste à transformer une matrice carrée en une matrice triangulaire supérieure, ce qui peut être utile lorsque la diagonalisation n’est pas possible. Ce procédé est particulièrement important pour les matrices ou endomorphismes qui ne sont pas diagonalisables.
Définition de la trigonalisation
Une matrice \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) est dite trigonalisable s’il existe une matrice inversible \( P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) telle que :
\[ P^{-1}AP = T \]
où \( T \) est une matrice triangulaire supérieure (tous les coefficients sous la diagonale principale sont nuls).
Conditions de trigonalisation
Théorème : Toute matrice carrée \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) est trigonalisable sur un corps algébriquement clos \( \mathbb{K} \) (par exemple, \( \mathbb{C} \)).
Autrement dit, il existe toujours une base dans laquelle l’endomorphisme représenté par \( A \) a une matrice triangulaire.
Exemple illustratif
Soit la matrice :
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \]
1. Le polynôme caractéristique est :
\[ \chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (\lambda - 2)^2(\lambda - 3) \]
Les valeurs propres sont \( \lambda_1 = 2 \) (de multiplicité 2) et \( \lambda_2 = 3 \).
2. La base de trigonalisation est formée en combinant les sous-espaces propres et les sous-espaces généralisés :
- Pour \( \lambda_1 = 2 \), le sous-espace propre est \( \ker(A - 2I) \).
- Pour \( \lambda_2 = 3 \), le sous-espace propre est \( \ker(A - 3I) \).
3. La matrice triangulaire supérieure obtenue est :
\[ T = \begin{bmatrix} 2 & * & * \\ 0 & 2 & * \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \]
Les éléments notés \( * \) dépendent des choix des vecteurs généralisés.
Comparaison : Diagonalisation vs Trigonalisation
Tableau comparatif
| Critère | Diagonalisation | Trigonalisation |
|---|---|---|
| Définition | Transformation en une matrice diagonale. | Transformation en une matrice triangulaire supérieure. |
| Conditions | Le polynôme caractéristique doit être scindé, et les multiplicités géométriques doivent être égales aux multiplicités algébriques. | Toute matrice est trigonalisable si le corps est algébriquement clos. |
| Complexité | Plus contraignant. | Moins contraignant. |
| Application | Utilisée lorsque la diagonalisation est possible. | Utilisée en l’absence de diagonalisation. |
Remarque
La diagonalisation est un cas particulier de la trigonalisation, où la matrice triangulaire est en fait diagonale.
Exemple comparatif
Considérons les matrices :
- \( A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \) : Diagonalisable (déjà diagonale).
- \( A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) : Trigonalisable mais non diagonalisable (multiplicité géométrique < multiplicité algébrique).
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