Dualité : Formes Linéaires, Hyperplans et Bases Duales

En algèbre linéaire, la dualité est un concept clé qui établit un lien entre un espace vectoriel et son espace dual. Elle trouve des applications dans de nombreux domaines, notamment la géométrie, l'analyse fonctionnelle et la théorie des représentations. Dans cette section, nous explorerons les notions de formes linéaires, d'hyperplans, des bases duales en dimension finie et du bidual.

Formes linéaires

Une forme linéaire est une application linéaire définie sur un espace vectoriel \( E \) à valeurs dans le corps \( K \) des scalaires. Mathématiquement, une forme linéaire \( f \) satisfait la propriété suivante :

\[ f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v), \quad \forall u, v \in E \text{ et } \forall \alpha, \beta \in K. \]

L'ensemble des formes linéaires sur \( E \) constitue l'espace dual, noté \( E^* \). Cet espace est de dimension égale à celle de \( E \) lorsque \( E \) est de dimension finie.

Exemples de formes linéaires

• Dans \( \mathbb{R}^3 \), une forme linéaire peut être définie comme : \[ f(x, y, z) = ax + by + cz, \quad a, b, c \in \mathbb{R}. \]
• Dans un espace vectoriel \( E \), la forme linéaire \( f \) est nulle si et seulement si \( f(v) = 0 \) pour tout \( v \in E \).

Applications des formes linéaires

Les formes linéaires sont utilisées dans plusieurs domaines des mathématiques, notamment :

• La résolution d'équations linéaires.
• La construction d'hyperplans dans la géométrie vectorielle.
• Les bases duales, où elles permettent de représenter des vecteurs par des formes linéaires.

Hyperplans

Un hyperplan dans un espace vectoriel \( E \) est un sous-espace affine de codimension 1. Cela signifie qu'il divise l'espace \( E \) en deux régions distinctes, jouant ainsi un rôle fondamental dans la géométrie vectorielle.

Définition

Un hyperplan \( H \) peut être défini comme le noyau d'une forme linéaire \( f \) non nulle :

\[ H = \{v \in E \mid f(v) = 0\}. \]

Si \( E \) est de dimension \( n \), alors \( H \) est un sous-espace vectoriel de dimension \( n-1 \).

Représentation dans \( \mathbb{R}^n \)

Dans \( \mathbb{R}^n \), un hyperplan est généralement représenté par une équation linéaire :

\[ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b, \quad a_i \in \mathbb{R}, \, b \in \mathbb{R}. \]

Par exemple, dans \( \mathbb{R}^3 \), l'équation d'un hyperplan est une équation du type \( ax + by + cz = d \), où \( (a, b, c) \) est un vecteur normal à l'hyperplan.

Propriétés des hyperplans

• Un hyperplan est invariant par translation parallèle à lui-même.
• Tout hyperplan est un espace affine, mais pas nécessairement un sous-espace vectoriel s'il n'est pas centré à l'origine.
• Les hyperplans divisent \( \mathbb{R}^n \) en deux demi-espaces.

Applications des hyperplans

• Ils servent à définir des régions ou des limites dans la géométrie et l'algèbre linéaire.
• Ils sont utilisés dans les algorithmes d'optimisation, comme la programmation linéaire.
• En apprentissage automatique, les hyperplans sont utilisés dans les classificateurs linéaires tels que les machines à vecteurs de support (SVM).

Bases duales en dimension finie

Dans un espace vectoriel \( E \) de dimension finie, une base duale est un ensemble de formes linéaires associé à une base donnée de \( E \). Cette base duale joue un rôle crucial dans l'étude des espaces vectoriels et de leurs applications.

Définition

Soit \( \{e_1, e_2, \dots, e_n\} \) une base d'un espace vectoriel \( E \) de dimension \( n \) sur un corps \( K \). La base duale correspondante est constituée des formes linéaires \( \{\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_n\} \) telles que :

\[ \phi_i(e_j) = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j, \\ 0 & \text{si } i \neq j. \end{cases} \]

Propriétés de la base duale

• La base duale est unique pour une base donnée de \( E \).
• Elle permet de représenter tout vecteur \( v \in E \) de manière canonique en termes de ses coordonnées.
• L'espace dual \( E^* \) (espace des formes linéaires sur \( E \)) est lui-même un espace vectoriel de même dimension que \( E \).

Applications des bases duales

• Les bases duales sont utilisées pour simplifier les calculs dans les espaces vectoriels.
• Elles interviennent dans les domaines de la géométrie, de l'optimisation, et de la physique mathématique.
• Les bases duales sont également essentielles dans l'étude des transformations linéaires et des matrices.

Bidual

Le bidual d'un espace vectoriel \( E \), noté \( E^{**} \), est l'espace dual de l'espace dual \( E^* \). En d'autres termes, il est constitué de toutes les formes linéaires définies sur \( E^* \).

Définition

Chaque vecteur \( v \in E \) définit naturellement une forme linéaire sur \( E^* \) par l'application :

\[ \Phi_v : E^* \to K, \quad \Phi_v(f) = f(v), \quad \forall f \in E^*. \]

L'application \( v \mapsto \Phi_v \) établit un isomorphisme entre \( E \) et \( E^{**} \) lorsque \( E \) est de dimension finie.

Propriétés du bidual

• Si \( E \) est de dimension finie, alors \( E \) est isomorphe à \( E^{**} \), c'est-à-dire qu'il existe une correspondance bijective entre les deux.
• Si \( E \) est de dimension infinie, \( E \) n'est pas nécessairement isomorphe à \( E^{**} \).
• L'isomorphisme entre \( E \) et \( E^{**} \) est donné par l'application canonique :

\[ v \mapsto \Phi_v, \quad \text{où } \Phi_v(f) = f(v), \, \forall f \in E^*. \]

Applications du bidual

• Le bidual est utilisé dans les espaces de Banach et les espaces de Hilbert en analyse fonctionnelle.
• Il joue un rôle important dans la théorie des distributions et les applications aux équations différentielles.
• Le concept de bidual est essentiel pour étudier les espaces vectoriels topologiques.

Admin Control Panel

Theme CustomizerEdit Theme HTMLStaticsLayoutCommentsPagesPostsSettingsEdit This Post