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Ce cours présente les notions fondamentales des espaces vectoriels et des applications linéaires. Nous aborderons les concepts de sous-espaces, familles libres, bases, et nous introduirons les sous-espaces image et noyau d'une application linéaire. Ce contenu est essentiel pour les étudiants en mathématiques ou en sciences.
1. Espaces vectoriels
1.1 Définition des espaces vectoriels
Un espace vectoriel est un ensemble \( E \) muni de deux opérations :
- Une addition : \( + : E \times E \to E \),
- Une multiplication par un scalaire : \( \cdot : K \times E \to E \),
où \( K \) désigne un corps (par exemple, \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \)). Les deux opérations satisfont les propriétés suivantes pour tous \( u, v, w \in E \) et \( \lambda, \mu \in K \) :
1.2 Sous-espaces vectoriels
Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel \( E \) est un sous-ensemble \( F \subset E \) qui est lui-même un espace vectoriel pour les mêmes opérations définies sur \( E \).
Pour que \( F \) soit un sous-espace vectoriel, il doit vérifier :
- \( 0 \in F \) (il contient le vecteur nul).
- Si \( u, v \in F \), alors \( u + v \in F \) (fermé pour l'addition).
- Si \( \lambda \in K \) et \( u \in F \), alors \( \lambda \cdot u \in F \) (fermé pour la multiplication par un scalaire).
1.3 Combinaison linéaire
Une combinaison linéaire de vecteurs \( v_1, v_2, \dots, v_n \in E \) est une expression de la forme :
où \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \in K \) sont des scalaires.
1.4 Famille génératrice et famille libre
Famille génératrice
Une famille de vecteurs \( \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \subset E \) est dite génératrice de \( E \) si tout vecteur \( u \in E \) peut s'écrire comme une combinaison linéaire des \( v_i \).
Famille libre
Une famille \( \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \subset E \) est dite libre si la seule solution à :
est \( \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0 \).
1.5 Bases d'un espace vectoriel
Une base d'un espace vectoriel \( E \) est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de \( E \). Tout vecteur de \( E \) s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.
La dimension de \( E \) est le nombre de vecteurs dans une base de \( E \).
1.6 Somme et somme directe de sous-espaces
La somme de deux sous-espaces \( F \) et \( G \) est définie par :
La somme est dite directe si \( F \cap G = \{0\} \).
2. Applications linéaires
2.1 Définitions et notations
Soient \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels sur un même corps \( K \). Une application linéaire est une fonction \( f : E \to F \) qui satisfait les deux propriétés suivantes pour tous \( u, v \in E \) et \( \lambda \in K \) :
- \( f(u + v) = f(u) + f(v) \) (compatibilité avec l'addition).
- \( f(\lambda \cdot u) = \lambda \cdot f(u) \) (compatibilité avec la multiplication scalaire).
En d'autres termes, \( f \) conserve la structure d'espace vectoriel.
Exemple 1 : L'application identité
L'application \( \text{id} : E \to E \), définie par \( \text{id}(u) = u \) pour tout \( u \in E \), est une application linéaire.
Exemple 2 : L'application nulle
L'application \( f : E \to F \), définie par \( f(u) = 0 \) pour tout \( u \in E \), est une application linéaire.
Exemple 3 : Application linéaire dans \( \mathbb{R}^n \)
Soit \( A \) une matrice \( m \times n \) et \( x \in \mathbb{R}^n \) un vecteur colonne. L'application :
est une application linéaire.
2.3 Image et noyau d'une application linéaire
Image d'une application linéaire
L'image d'une application linéaire \( f : E \to F \) est l'ensemble des images des vecteurs de \( E \) par \( f \) :
L'image de \( f \) est un sous-espace vectoriel de \( F \).
Noyau d'une application linéaire
Le noyau d'une application linéaire \( f : E \to F \) est l'ensemble des vecteurs \( u \in E \) tels que \( f(u) = 0 \) :
Le noyau de \( f \) est un sous-espace vectoriel de \( E \).
Exemple : Image et noyau dans \( \mathbb{R}^2 \)
Soit \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) définie par \( f(x, y) = (x, 0) \). Alors :
2.4 Opérations sur les applications linéaires
Les opérations sur les applications linéaires incluent :
- La somme de deux applications linéaires.
- La composition d'applications linéaires.
- Le produit par un scalaire.
Théorème du rang
Soit \( f : E \to F \) une application linéaire. Le théorème du rang établit que :
Autrement dit, la dimension de l'espace vectoriel \( E \) est la somme des dimensions du noyau et de l'image de \( f \).
Matrice d'une application linéaire
Soient \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels de dimensions finies, et soit \( f : E \to F \) une application linéaire. La matrice associée à \( f \), dans des bases respectives \( \mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_n) \) de \( E \) et \( \mathcal{C} = (f_1, f_2, \dots, f_m) \) de \( F \), est la matrice \( A \) telle que :
\[ [f(e_j)]_{\mathcal{C}} = \sum_{i=1}^m a_{ij} f_i, \quad A = (a_{ij}). \]Les coefficients \( a_{ij} \) représentent les coordonnées de \( f(e_j) \) dans la base \( \mathcal{C} \).
Exemple : Matrice d'une application linéaire dans \( \mathbb{R}^2 \)
Soit \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) définie par \( f(x, y) = (2x + y, x - y) \). Dans la base canonique, la matrice associée à \( f \) est :
Composition d'applications linéaires
Si \( f : E \to F \) et \( g : F \to G \) sont deux applications linéaires, alors la composition de \( g \) et \( f \) :
\[ g \circ f : E \to G, \quad (g \circ f)(u) = g(f(u)), \]est également une application linéaire.
Isomorphisme
Une application linéaire \( f : E \to F \) est un isomorphisme si elle est bijective, c'est-à-dire si :
- \( f \) est injective : \( \ker(f) = \{0\} \).
- \( f \) est surjective : \( \text{Im}(f) = F \).
Dans ce cas, \( E \) et \( F \) sont dits isomorphes, ce qui signifie qu'ils ont la même dimension.
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