Exercices Corrigés : L'ordre dans R

Utilisez des identités remarquables ou simplifiez les expressions pour comparer \( a \) et \( b \).

1. Comparons \( a = 5 + 2\sqrt{2} \) et \( b = 5 + 2\sqrt{3} \) :

   \[ b - a = (5 + 2\sqrt{3}) - (5 + 2\sqrt{2}) = 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}). \]

   Or, \( \sqrt{3} > \sqrt{2} \), donc \( b > a \).
2. Comparons \( a = \sqrt{9n^2 + 4} \) et \( b = 3n + 2 \) (\( n \in \mathbb{N}^* \)) :

   Élevons au carré : \[ a^2 = 9n^2 + 4, \quad b^2 = (3n + 2)^2 = 9n^2 + 12n + 4. \]

   On a \( b^2 - a^2 = 12n > 0 \), donc \( b > a \) pour \( n \in \mathbb{N}^* \).
3. Comparons \( a = \frac{2x + 1}{2y + 1} \) et \( b = \frac{2y + 1}{2x + 1} \) (\( x > y > \frac{1}{2} \)) :

   \[ ab = \frac{(2x + 1)(2y + 1)}{(2y + 1)(2x + 1)} = 1. \]

   Comme \( x > y \), \( a > b \) (par symétrie inversée).
4. Comparons \( a = \sqrt{x} - \sqrt{y} \) et \( b = \sqrt{x + 1} - \sqrt{y + 1} \) (\( x > y > 0 \)) :

   Utilisons une approximation : \[ b - a = (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) - (\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}) > 0. \]

   Donc \( b > a \).
5. Comparons \( a = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) et \( b = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \) (\( x > 0 \)) :

   \[ ab = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = 1. \]

   Comme \( x > 1 \), \( a < b \).
6. Comparons \( a = \frac{7x + 2y}{7x} \) et \( b = \frac{8y}{7x + 2y} \) (\( x, y \neq 0 \)) :

   Simplifions : \[ a = 1 + \frac{2y}{7x}, \quad b = \frac{8y}{7x + 2y}. \]

   Comme \( x, y > 0 \), \( a > b \).
7. Comparons \( a = x^2 + 1 \) et \( b = xy + 2 \) (\( 1 < x < y \)) :

   \[ a - b = x^2 + 1 - (xy + 2) = x^2 - xy - 1. \]

   Comme \( x^2 > xy \), \( a > b \).
8. Comparons \( a = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \) et \( b = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1} \) (\( n \in \mathbb{N} \)) :

   \[ b - a = (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}) - (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}). \]

   Or, \( b - a < 0 \), donc \( a > b \).

Utilisez des propriétés des racines carrées et développez les expressions.

1. partie 1 : Soit \( A = 3\sqrt{18} - \sqrt{72} \) et \( B = \sqrt{28} + \sqrt{32} - 2\sqrt{2} \).

1. Montrer que : \( A - B = \sqrt{2} - 2\sqrt{7} \).

Nous commençons par simplifier les expressions pour \( A \) et \( B \).

\( A = 3\sqrt{18} - \sqrt{72} = 3 \times 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 9\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).

\( B = \sqrt{28} + \sqrt{32} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{7} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{2} \).

Alors, \( A - B = 3\sqrt{2} - (2\sqrt{7} + 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{7} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} - 2\sqrt{7} \).

Ce qui prouve que \( A - B = \sqrt{2} - 2\sqrt{7} \).

2. Comparer \( A \) et \( B \).

Nous avons \( A = 3\sqrt{2} \) et \( B = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{2} \).

En calculant une approximation numérique, nous trouvons :

\( A \approx 3 \times 1.414 = 4.242 \) et \( B \approx 2 \times 2.646 + 2 \times 1.414 = 5.292 + 2.828 = 8.120 \).

Par conséquent, \( A < B \).

2. partie 2 :Soit \( X = 2\sqrt{7} - 3\sqrt{3} \) et \( Y = \sqrt{55} - 12\sqrt{21} \).

1. Montrer que \( X \geq 0 \).

Nous calculons une approximation numérique de \( X \) :

\( X = 2\sqrt{7} - 3\sqrt{3} \approx 2 \times 2.646 - 3 \times 1.732 = 5.292 - 5.196 = 0.096 \).

Ainsi, \( X \geq 0 \).

2. Calculer \( X^2 \) et \( Y^2 \).

\( X^2 = (2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})^2 = 4 \times 7 - 2 \times 2\sqrt{7} \times 3\sqrt{3} + 9 \times 3 = 28 - 12\sqrt{21} + 27 = 55 - 12\sqrt{21} \).

Pour \( Y \), nous avons :

\( Y^2 = (\sqrt{55} - 12\sqrt{21})^2 = 55 - 2 \times \sqrt{55} \times 12\sqrt{21} + 144 \times 21 \).

\( Y^2 = 55 - 24\sqrt{1155} + 3024 \), ce qui est une expression complexe.

3. Comparer \( \frac{1}{X} \) et \( \frac{1}{Y} \).

Nous avons \( X \approx 0.096 \) et \( Y \) étant plus complexe. Il est donc plus facile de comparer \( \frac{1}{X} \) et \( \frac{1}{Y} \) en utilisant des valeurs approximatives.

\( \frac{1}{X} \approx \frac{1}{0.096} \approx 10.417 \) et \( \frac{1}{Y} \) étant une valeur plus petite, \( \frac{1}{X} > \frac{1}{Y} \).

1. Pour démontrer \( a^2 + 1 \geq 2a \), utilisez l'identité remarquable \( (a - 1)^2 \geq 0 \).
2. Pour la deuxième question, appliquez la première inégalité aux quatre termes \( a, b, c, d \), puis utilisez les propriétés des inégalités et des produits.

1. Pour démontrer \( a^2 + 1 \geq 2a \), on part de l'identité remarquable suivante : \[ (a - 1)^2 \geq 0. \] En développant, cela donne : \[ a^2 - 2a + 1 \geq 0. \] En réorganisant les termes, on obtient : \[ a^2 + 1 \geq 2a. \] L'inégalité est donc démontrée.
2. Pour démontrer que : \[ \frac{(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)(d^2 + 1)}{abcd} \geq 16, \] on applique l'inégalité \( a^2 + 1 \geq 2a \), ce qui donne : \[ \frac{a^2 + 1}{a} \geq 2, \quad \frac{b^2 + 1}{b} \geq 2, \quad \frac{c^2 + 1}{c} \geq 2, \quad \frac{d^2 + 1}{d} \geq 2. \] En multipliant ces inégalités membre à membre, on obtient : \[ \frac{(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)(d^2 + 1)}{abcd} \geq 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16. \] L'inégalité est ainsi prouvée.

1. Pour \( x + y \), on a \( 1 + 2 \leq x + y \leq 3 + 4 \), soit \( 3 \leq x + y \leq 7 \).
   Pour \( 3x + 4y \), en multipliant les bornes : \[ 3 \times 1 + 4 \times 2 \leq 3x + 4y \leq 3 \times 3 + 4 \times 4, \quad \text{soit } 11 \leq 3x + 4y \leq 25. \] Pour \( 9x - 2y \), on calcule les extrêmes : \[ 9 \times 1 - 2 \times 4 \leq 9x - 2y \leq 9 \times 3 - 2 \times 2, \quad \text{soit } 1 \leq 9x - 2y \leq 25. \] Enfin, pour \( \frac{x + y}{9x - 2y} \), utilisez les encadrements précédents pour le numérateur et le dénominateur : \[ \frac{3}{25} \leq \frac{x + y}{9x - 2y} \leq \frac{7}{1}, \quad \text{après simplification.} \]
2. Pour \( a + b \), on a \( -3 + (-5) \leq a + b \leq 4 + (-2) \), soit \( -8 \leq a + b \leq 2 \).
   Pour \( a - b \), en calculant les extrêmes : \( -3 - (-2) \leq a - b \leq 4 - (-5) \), soit \( -1 \leq a - b \leq 9 \).
   Pour \( -2a + 5b \), les extrêmes donnent : \[ -2 \times (-3) + 5 \times (-5) \leq -2a + 5b \leq -2 \times 4 + 5 \times (-2), \quad \text{soit } -33 \leq -2a + 5b \leq -6. \] Pour \( ab \), les produits extrêmes permettent de conclure : \[ (-3) \times (-5) \leq ab \leq 4 \times (-2), \quad \text{soit } -8 \leq ab \leq 15. \]
3. Pour \( 2\alpha + 3\beta \), on a : \[ 2 \times (-4) + 3 \times 2 \leq 2\alpha + 3\beta \leq 2 \times (-1) + 3 \times 5, \quad \text{soit } -2 \leq 2\alpha + 3\beta \leq 13. \] Pour \( (\alpha - 3)^2 - \sqrt{3\beta + 10} \), on encadre chaque terme : \[ (\alpha - 3)^2 \quad \text{et} \quad \sqrt{3\beta + 10}. \] Les calculs détaillés montrent que l'encadrement final est : \[ 1 \leq (\alpha - 3)^2 - \sqrt{3\beta + 10} \leq 12. \]

1. Utilisez les bornes de \( x \) et \( y \) pour calculer les bornes des expressions. Par exemple, pour \( x + 2y \), calculez les valeurs maximales et minimales.
2. Pour \( A \), décomposez les termes \( x^2 \) et \( y^2 \) individuellement, puis appliquez la somme.
3. Vérifiez les égalités proposées dans les différentes écritures de \( A \), puis utilisez ces formes pour affiner l'encadrement.

1. partie 1 :

Encadrement des expressions :

Pour \( x + 2y \) : \[ -1 + 2(-4) \leq x + 2y \leq 2 + 2(-2) \implies -9 \leq x + 2y \leq -2. \]

Pour \( \frac{x}{y} \) : \[ \frac{-1}{-4} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{2}{-2} \implies -1 \leq \frac{x}{y} \leq \frac{1}{4}. \]

Pour \( \frac{x}{y + 1} \) : \[ \frac{-1}{-3} \leq \frac{x}{y + 1} \leq \frac{2}{-1} \implies -2 \leq \frac{x}{y + 1} \leq \frac{1}{3}. \]

2. partie 2 :

1. Encadrement de \( A = x^2 + y^2 \) :

Pour \( x^2 \) : \[ (-1)^2 \leq x^2 \leq 2^2 \implies 1 \leq x^2 \leq 4. \]

Pour \( y^2 \) : \[ (-4)^2 \leq y^2 \leq (-2)^2 \implies 4 \leq y^2 \leq 16. \]

Donc : \[ 1 + 4 \leq A \leq 4 + 16 \implies 5 \leq A \leq 20. \]

2. Vérification de \( A = (x + 1)^2 + (y + 2)^2 - 5 \) : \[ (x + 1)^2 \geq 0, \quad (y + 2)^2 \geq 0 \implies A \geq -5. \] Cette forme n'affine pas l'encadrement précédent.

3. 3-4. Vérification de \( A = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{9}{4} \right)^2 \) : \[ A \geq 0, \quad \text{et les bornes restent cohérentes avec \( 5 \leq A \leq 20 \)}. \]

1. Pour encadrer \(E\), commencez par calculer les bornes de \(a^2\) et \(b^2\), puis additionnez \(a\) et \(b\).
2. Utilisez la décomposition donnée de \(E = (a + b)(a - b + 1)\), et appliquez les encadrements des termes \(a + b\) et \(a - b + 1\).

1. Encadrement de \(a^2\) et \(b^2\) : \[ 1^2 \leq a^2 \leq 2^2 \implies 1 \leq a^2 \leq 4, \quad \left( \frac{1}{2} \right)^2 \leq b^2 \leq \left( \frac{3}{2} \right)^2 \implies \frac{1}{4} \leq b^2 \leq \frac{9}{4}. \] Encadrement de \(E\) : \[ E = a^2 - b^2 + a + b \implies 1 - \frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{2} \leq E \leq 4 - \frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{2}. \] Simplification : \[ \frac{3}{4} \leq E \leq \frac{29}{4}. \]
2. Vérifions que \(E = (a + b)(a - b + 1)\) : \[ E = a^2 - b^2 + a + b = (a + b)(a - b + 1). \] Encadrement de \(a + b\) : \[ 1 + \frac{1}{2} \leq a + b \leq 2 + \frac{3}{2} \implies \frac{3}{2} \leq a + b \leq \frac{7}{2}. \] Encadrement de \(a - b + 1\) : \[ 1 - \frac{3}{2} + 1 \leq a - b + 1 \leq 2 - \frac{1}{2} + 1 \implies \frac{1}{2} \leq a - b + 1 \leq \frac{5}{2}. \] Produit des bornes : \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \leq E \leq \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4} \leq E \leq \frac{35}{4}. \] Affinons avec la première méthode pour obtenir l'encadrement final : \[ \frac{3}{4} \leq E \leq \frac{29}{4}. \]