Exercice 01 : Les polynômes
Énoncé
On considère le polynôme \( P(x) = 2x^3 - 9x^2 + 13x - 6 \).
- Vérifier que 2 est une racine de \( P(x) \).
- Déterminer le polynôme \( Q(x) \) tel que \( P(x) = (x-2)Q(x) \).
- Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation \( P(x) = 0 \).
2.1. Vérifier que 1 est une racine du polynôme \( Q(x) \).
2.2. Factoriser le polynôme \( Q(x) \).
2.3. En déduire une factorisation de \( P(x) \) en produit de polynômes du premier degré.
Indication
▼- Pour vérifier si 2 est une racine, calculez \( P(2) \).
- Utilisez la division polynomiale pour déterminer \( Q(x) \).
- Appliquez le même processus pour trouver les racines et factoriser \( Q(x) \).
Solution
▼- Calculons \( P(2) \) :
- En utilisant la division polynomiale, on trouve :
- Pour \( Q(x) = 2x^2 - 5x + 3 \) :
- Les solutions de l’équation \( P(x) = 0 \) sont :
\[ P(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 13(2) - 6 = 16 - 36 + 26 - 6 = 0. \]
Donc, 2 est une racine de \( P(x) \).
\[ P(x) = (x-2)(2x^2 - 5x + 3). \]
2.1. Calculons \( Q(1) \) :
\[ Q(1) = 2(1)^2 - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0. \]
Donc, 1 est une racine de \( Q(x) \).
2.2. Factorisation de \( Q(x) \) :
\[ Q(x) = (x-1)(2x-3). \]
2.3. Factorisation complète de \( P(x) \) :\[ P(x) = (x-2)(x-1)(2x-3). \]
\[ x = 2, \, x = 1, \, \text{et} \, x = \frac{3}{2}. \]
Exercice 02 : Les polynômes
Énoncé
On considère le polynôme \( P(x) = x^3 - 10x^2 + 31x - 30 \).
- Calculer \( P(0) \), \( P(1) \), \( P(3) \) et \( P(\sqrt{2}) \).
- Déduire de ce qui précède une racine de \( P(x) \).
- Déterminer les nombres réels \( a \) et \( b \) tels que \( P(x) = (x-3)(x^2 + ax + b) \).
- Déterminer toutes les racines de \( P(x) \).
3.1. Vérifier que \( Q(x) = x^2 - 7x + 10 \) est divisible par \( x-2 \).
3.2. déduire une factorisation de \( P(x) \) en produit de polynômes du premier degré.
Indication
▼- Pour les calculs, remplacez \( x \) par les valeurs données dans \( P(x) \).
- Si \( P(c) = 0 \), alors \( c \) est une racine.
- Utilisez la division polynomiale pour factoriser \( P(x) \).
Solution
▼- Calcul des valeurs de \( P(x) \) :
- Factorisation de \( P(x) \) :
- Pour \( Q(x) = x^2 - 7x + 10 \) :
- Factorisation complète de \( P(x) \) :
- Les solutions de \( P(x) = 0 \) sont :
\[ P(0) = -30, \, P(1) = -8, \, P(3) = 0, \, P(\sqrt{2}) \neq 0. \]
Donc, \( x = 3 \) est une racine de \( P(x) \).
\[ P(x) = (x-3)(x^2 - 7x + 10). \]
3.1. Calculons \( Q(2) \) :
\[ Q(2) = (2)^2 - 7(2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0. \]
Donc, \( Q(x) \) est divisible par \( x-2 \).
3.2. Factorisation de \( Q(x) \) :
\[ Q(x) = (x-2)(x-5). \]
\[ P(x) = (x-3)(x-2)(x-5). \]
\[ x = 3, \, x = 2, \, \text{et} \, x = 5. \]
Exercice 03 : Les polynômes
Énoncé
On considère le polynôme \( P(x) = x^3 + 5x^2 - 12x - 36 \).
- Vérifier que \( P(x) \) est divisible par \( x+3 \).
- Déterminer \( Q(x) \) tel que \( P(x) = (x+3)Q(x) \).
- Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation \( P(x) = 0 \).
2.1. Vérifier que \( Q(x) = x^2 + 2x - 12 \) est divisible par \( x+4 \).
2.2. En effectuer la division euclidienne de \( Q(x) \) par \( x+4 \).
2.3. En déduire une factorisation de \( P(x) \) en produit de polynômes du premier degré.
Indication
▼- Pour vérifier la divisibilité par \( x+3 \), calculez \( P(-3) \).
- Utilisez la division polynomiale pour obtenir \( Q(x) \).
- Répétez le même processus pour \( Q(x) \) et \( x+4 \).
Solution
▼- Calculons \( P(-3) \) :
- En effectuant la division :
- Pour \( Q(x) = x^2 + 2x - 12 \) :
- Les solutions de \( P(x) = 0 \) sont :
\[ P(-3) = (-3)^3 + 5(-3)^2 - 12(-3) - 36 = -27 + 45 + 36 - 36 = 0. \]
Donc, \( P(x) \) est divisible par \( x+3 \).
\[ P(x) = (x+3)(x^2 + 2x - 12). \]
2.1 Calculons \( Q(-4) \) :
\[ Q(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 12 = 16 - 8 - 12 = 0. \]
Donc, \( Q(x) \) est divisible par \( x+4 \).
2.2. Division de \( Q(x) \) :
\[ Q(x) = (x+4)(x-3). \]
2.3. Factorisation complète de \( P(x) \) :\[ P(x) = (x+3)(x+4)(x-3). \]
\[ x = -3, \, x = -4, \, \text{et} \, x = 3. \]
Exercice 04 : Les polynômes et les dérivées
Énoncé
On considère le polynôme \( P(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \).
- Montrer que \( P(x) = (x-1)^4 \).
- Calculer la dérivée \( P'(x) \).
- Étudier le signe de \( P'(x) \) et en déduire les variations de \( P(x) \).
- Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation \( P(x) = 0 \).
Indication
▼- Développez \( (x-1)^4 \) et comparez avec \( P(x) \).
- Utilisez la règle de dérivation pour les puissances : \( (u^n)' = nu^{n-1}u' \).
- Étudiez le signe de \( P'(x) \) en identifiant les racines et leurs multiplicités.
- Pour résoudre \( P(x) = 0 \), utilisez la factorisation obtenue dans la première question.
Solution
▼- Vérifions que \( P(x) = (x-1)^4 \) :
- Calcul de la dérivée :
- Étude du signe de \( P'(x) \) :
- Résolution de \( P(x) = 0 \) :
\[ (x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1. \]
Le développement montre que \( P(x) = (x-1)^4 \).
\[ P'(x) = 4(x-1)^3 \cdot (1) = 4(x-1)^3. \]
\[ P'(x) = 4(x-1)^3. \]
La racine de \( P'(x) \) est \( x = 1 \) avec une multiplicité de 3. Le signe de \( P'(x) \) est : \begin{align*} P'(x) > 0 & \text{ si } x < 1, \\ P'(x) < 0 & \text{ si } x > 1. \end{align*}
Donc, \( P(x) \) est strictement croissant sur \( ]-\infty, 1[ \) et strictement décroissant sur \( ]1, +\infty[ \).
\[ P(x) = (x-1)^4 = 0 \implies x = 1. \]
La seule solution est \( x = 1 \) avec une multiplicité de 4.
Exercice 05 : Étude d’un polynôme et ses racines
Énoncé
Soit le polynôme \( P(x) = 2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2 \).
- Vérifier que \( 0 \) n’est pas une racine de \( P(x) \).
- Montrer que si \( \alpha \) est une racine de \( P(x) \), alors \( \frac{1}{\alpha} \) est aussi une racine de \( P(x) \).
- En déduire une factorisation de \( P(x) \) en produit de polynômes du premier degré.
- Déterminer les réels \( a \) et \( b \) tels que \( Q(x) = (x+a)(x+b) \).
- Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation \( P(x) = 0 \).
2.1. Vérifier que \( x = 2 \) est une racine de \( P(x) \).
2.2. Déterminer le polynôme \( Q(x) \) tel que \( P(x) = (x-2)Q(x) \).
Indication
▼- Remplacez \( x = 0 \) dans \( P(x) \) pour vérifier si c’est une racine.
- Utilisez la symétrie dans les coefficients de \( P(x) \) pour prouver que \( \frac{1}{\alpha} \) est une racine.
- Pour \( Q(x) \), effectuez la division euclidienne de \( P(x) \) par \( x-2 \).
- Pour factoriser \( Q(x) \), cherchez des valeurs simples de \( a \) et \( b \).
Solution
▼- Vérifions si \( 0 \) est une racine de \( P(x) \) :
- Montrons que si \( \alpha \) est une racine, alors \( \frac{1}{\alpha} \) est aussi une racine :
- Factorisation de \( Q(x) \) en produit de polynômes du premier degré :
- Détermination des réels \( a \) et \( b \) :
- Résolution de \( P(x) = 0 \) :
\[ P(0) = 2 \cdot 0^4 - 9 \cdot 0^3 + 14 \cdot 0^2 - 9 \cdot 0 + 2 = 2. \]
Donc, \( 0 \) n’est pas une racine de \( P(x) \).
\[ P(x) = 2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2. \]
En divisant chaque coefficient par \( x^4 \), on observe que les coefficients sont symétriques, ce qui implique la propriété des racines inverses.
2.1. Vérifions que \( x = 2 \) est une racine :
\[ P(2) = 2 \cdot 2^4 - 9 \cdot 2^3 + 14 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 + 2 = 0. \]
2.2. Déterminons \( Q(x) \) :
En effectuant la division euclidienne de \( P(x) \) par \( x-2 \), on obtient :
\[ Q(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1. \]
En continuant la factorisation, on trouve :
\[ Q(x) = (x-2)(x-1)(2x-1). \]
\[ Q(x) = (x+a)(x+b). \]
Par identification, \( a = -1 \) et \( b = -\frac{1}{2} \).
\[ P(x) = (x-2)^2(x-1)(2x-1) = 0. \]
Les solutions sont \( x = 2 \) (multiplicité 2), \( x = 1 \), et \( x = \frac{1}{2} \).
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