Les Polynômes d'Endomorphismes sont des outils fondamentaux en algèbre linéaire, utilisés pour étudier les propriétés des transformations linéaires. Ce cours aborde les concepts clés liés aux valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces stables et le théorème de Cayley-Hamilton. Vous apprendrez à utiliser les polynômes caractéristiques pour analyser les endomorphismes et découvrir l'importance de ces outils dans la résolution de systèmes linéaires, la diagonalisation des matrices et bien plus encore. L'objectif de ce cours est de vous fournir une compréhension solide des bases des endomorphismes et de leur rôle dans les applications mathématiques avancées.
1. Valeurs propres et vecteurs propres
Définition
Soit \( f : E \to E \) un endomorphisme d'un espace vectoriel \( E \) sur un corps \( \mathbb{K} \), et soit \( A \) la matrice associée à \( f \) dans une base donnée. Un scalaire \( \lambda \in \mathbb{K} \) est une valeur propre de \( f \) si :
\[ f(v) = \lambda v, \]
où \( v \neq 0 \) est un vecteur non nul appelé vecteur propre associé à la valeur propre \( \lambda \).
Théorème : Conditions d'existence
Un scalaire \( \lambda \) est une valeur propre de l'endomorphisme \( f \) si et seulement si :
\[ \det(\lambda I - A) = 0, \]
où \( A \) est la matrice associée à \( f \) et \( I \) est la matrice identité. Le polynôme caractéristique \( P(\lambda) = \det(\lambda I - A) \) joue un rôle clé dans la détermination des valeurs propres.
Exemple : Calcul de valeurs propresSoit la matrice :
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}. \]
Le polynôme caractéristique est :
\[ P(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \det\begin{bmatrix} \lambda - 2 & -1 \\ 0 & \lambda - 3 \end{bmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 3). \]
Les valeurs propres sont donc \( \lambda_1 = 2 \) et \( \lambda_2 = 3 \).
Remarque
Les valeurs propres ne dépendent pas de la base choisie pour l'espace vectoriel \( E \), bien qu'elles soient calculées à partir de la matrice \( A \) associée à \( f \) dans une base donnée.
Sous-espace propre
Le sous-espace propre associé à une valeur propre \( \lambda \) est donné par :
\[ E_\lambda = \{ v \in E \mid f(v) = \lambda v \}. \]
C'est un sous-espace vectoriel de \( E \).
Propriétés importantes
- Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique \( P(\lambda) \).
- Le vecteur nul \( v = 0 \) ne peut jamais être un vecteur propre.
- Si \( \lambda \) est une valeur propre de \( f \), alors \( E_\lambda \) est un sous-espace stable par \( f \).
Considérons la matrice \( A \) de l'exemple précédent :
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}. \]
Pour \( \lambda = 2 \), on résout \( (A - 2I)v = 0 \) :
\[ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \]
On trouve \( x = x \) et \( y = 0 \), donc un vecteur propre est \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).
Pour \( \lambda = 3 \), on trouve \( v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \).
2. Sous-espaces stables
Un sous-espace \( E \) d'un espace vectoriel \( V \) est dit stable par un endomorphisme \( f \) si l'application de \( f \) à tout vecteur de \( E \) reste dans \( E \). Formellement, cela signifie :
\[ \forall v \in E, \quad f(v) \in E. \]
Les sous-espaces stables jouent un rôle clé dans la compréhension de la structure de \( V \). Ils permettent, par exemple, de décomposer \( V \) en une somme directe de sous-espaces stables.
Exemple :Considérons \( V = \mathbb{R}^2 \) et l'endomorphisme \( f \) défini par la matrice :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
Un sous-espace \( E \) stable par \( f \) peut être \( E = \text{Vect} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), car :
\[ A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \in E. \]
Cela signifie que \( f \) agit sur \( E \) sans "sortir" de ce sous-espace.
3. Polynômes d'endomorphismes
Pour un endomorphisme \( f : V \to V \), on peut appliquer un polynôme \( P \) à \( f \). Si \( P \) est un polynôme de degré \( n \) donné par :
\[ P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n, \]
alors on définit \( P(f) \) comme :
\[ P(f) = a_0 \text{Id}_V + a_1 f + a_2 f^2 + \cdots + a_n f^n, \]
où \( \text{Id}_V \) est l'application identité sur \( V \).
Propriété importante :
Il existe toujours un polynôme \( P \), appelé polynôme annulateur, tel que :
\[ P(f) = 0. \]
Cela signifie que \( f \) satisfait une certaine relation polynomiale.
Exemple :Considérons \( V = \mathbb{R}^2 \) et \( f \) défini par la matrice :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
Un polynôme annulateur de \( f \) est \( P(X) = (X - 2)^2 \), car :
\[ P(A) = (A - 2I)^2 = 0, \]
où \( I \) est la matrice identité de \( \mathbb{R}^2 \).
4. Lemme des noyaux
Le lemme des noyaux établit une relation fondamentale entre les noyaux des puissances successives d'un endomorphisme \( f \). Il affirme que :
\[ \ker(f^n) \subseteq \ker(f^{n+1}), \]
pour tout entier \( n \geq 1 \). Cela signifie que le noyau d'une puissance \( f^n \) est inclus dans le noyau de la puissance suivante \( f^{n+1} \).
Conséquence
Une conséquence importante de ce lemme est que la suite des noyaux finit par se stabiliser, c'est-à-dire qu'il existe un entier \( k \) tel que :
\[ \ker(f^k) = \ker(f^{k+1}) = \ker(f^{k+2}) = \dots \]
Cette propriété est essentielle dans l'étude de la réduction des endomorphismes.
Exemple
Considérons \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), avec la matrice associée \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). On calcule les noyaux des puissances successives de \( f \) :
- \( \ker(f) = \{0\} \)
- \( \ker(f^2) = \text{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
La suite se stabilise pour \( k = 2 \).
5. Polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme \( f \) est défini comme le déterminant de l'expression \( \lambda I - A \), où \( A \) est la matrice associée à \( f \) dans une base donnée, et \( \lambda \) est un scalaire. Formellement :
\[ P(\lambda) = \det(\lambda I - A). \]
Les racines du polynôme caractéristique sont précisément les valeurs propres de l'endomorphisme \( f \).
Exemple
Considérons l'endomorphisme \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) représenté par la matrice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). Calculons son polynôme caractéristique :
\[ P(\lambda) = \det\begin{pmatrix} \lambda - 2 & -1 \\ 0 & \lambda - 3 \end{pmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 3). \]
Les valeurs propres de \( f \) sont \( \lambda = 2 \) et \( \lambda = 3 \).
Application
Le polynôme caractéristique est utilisé dans des théorèmes importants comme le théorème de Cayley-Hamilton, qui affirme que tout endomorphisme satisfait son propre polynôme caractéristique.
6. Théorème de Cayley-Hamilton
Le théorème de Cayley-Hamilton est un résultat fondamental en algèbre linéaire. Il affirme que toute matrice carrée \( A \) satisfait son propre polynôme caractéristique. Autrement dit, si le polynôme caractéristique de \( A \) est donné par :
\[ P(\lambda) = \det(\lambda I - A) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + a_1 \lambda + a_0, \]
alors :
\[ P(A) = a_n A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \dots + a_1 A + a_0 I = 0, \]
où \( I \) est la matrice identité de même dimension que \( A \).
Importance
Ce théorème est essentiel pour simplifier les calculs impliquant des puissances de matrices. Il est également utilisé pour prouver des propriétés des endomorphismes et pour résoudre des systèmes dynamiques linéaires.
Exemple
Soit la matrice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \). Le polynôme caractéristique est :
\[ P(\lambda) = \det(\lambda I - A) = (\lambda - 2)(\lambda - 3). \]
En développant, on obtient \( P(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 \). D'après le théorème de Cayley-Hamilton, \( A \) satisfait l'équation :
\[ A^2 - 5A + 6I = 0. \]
Cela signifie que toute puissance élevée de \( A \) peut être exprimée en fonction de \( A \) et de \( I \), simplifiant ainsi les calculs.
Application
Le théorème de Cayley-Hamilton est particulièrement utile pour :
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