Produit Scalaire : Exercices Corrigés

Utilisez les formules de la géométrie analytique pour calculer les distances et les produits scalaires.

Pour la médiatrice, calculez le milieu et trouvez une pente perpendiculaire.

\( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{8} \).

\( AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} - (-1))^2} \).

\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (x_B - x_A)(x_C - x_A) + (y_B - y_A)(y_C - y_A) \).

\( \cos(\widehat{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|AB| \cdot |AC|} \).

\( \sin(\widehat{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) = \sqrt{1 - \cos^2(\widehat{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}})} \).

L'angle \( \theta = \arccos(\cos(\theta)) \).

Le triangle \( ABC \) est identifié selon les propriétés calculées (isocèle, rectangle, etc.).

L'équation de la médiatrice est obtenue via le milieu et une pente perpendiculaire.

Pour déterminer les équations des droites, utilisez la pente entre deux points et la formule \( y - y_1 = m(x - x_1) \). Vérifiez l'orthogonalité à l'aide des produits scalaires.

La surface du triangle peut être calculée à partir des coordonnées des sommets : \( \text{Surface} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \).

1. Équation de \( (AC) \) :

La pente \( m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-2 - 1}{0 - 1} = 3 \).
Équation : \( y - y_A = m_{AC}(x - x_A) \), soit \( y - 1 = 3(x - 1) \).
Finalement : \( y = 3x - 2 \).
2. Équation de \( (BC) \) :

La pente \( m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-2 - (-3)}{0 - 3} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \).
Équation : \( y - y_B = m_{BC}(x - x_B) \), soit \( y - (-3) = -\frac{1}{3}(x - 3) \).
Finalement : \( y = -\frac{1}{3}x - 2 \).
3. Orthogonalité \( (AC) \perp (BC) \) :

Vérifions \( m_{AC} \cdot m_{BC} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1 \).
Donc \( (AC) \perp (BC) \).
4. Calcul de \( \cos(\widehat{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \) et \( \sin(\widehat{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \) :

Vecteurs : \( \overrightarrow{AB} = (3 - 1 ; -3 - 1) = (2 ; -4) \), \( \overrightarrow{AC} = (0 - 1 ; -2 - 1) = (-1 ; -3) \).
Produit scalaire : \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot (-1) + (-4) \cdot (-3) = -2 + 12 = 10 \).
Normes : \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} \), \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \).
\( \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\( \sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Équation de \( (D) \) :

Droite \( (D) \) passant par \( C(0 ; -2) \) et perpendiculaire à \( (AB) \).
La pente de \( (AB) \) est \( m_{AB} = \frac{-3 - 1}{3 - 1} = -2 \).
La pente de \( (D) \) est \( m_D = \frac{1}{2} \).
Équation : \( y - y_C = m_D(x - x_C) \), soit \( y + 2 = \frac{1}{2}x \).
Finalement : \( y = \frac{1}{2}x - 2 \).
6. Surface du triangle \( ABC \) :

\( \text{Surface} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right| \).
\( \text{Surface} = \frac{1}{2} \left| 1(-3 - (-2)) + 3(-2 - 1) + 0(1 - (-3)) \right| \).
\( \text{Surface} = \frac{1}{2} \left| 1(-1) + 3(-3) + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| -1 - 9 \right| = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \).
Surface : \( 5 \).

Pour projeter un point sur une droite, utilisez la formule de projection vectorielle. Vérifiez les distances et utilisez les équations des droites pour déterminer la position exacte de \( H \).

1. Calcul de \( AB \) :

\( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{\left(2+\sqrt{3} - 1\right)^2 + \left(\sqrt{3} - 1\right)^2} \).
Simplification : \( AB = \sqrt{\left(1+\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{3} - 1\right)^2} = \sqrt{4 + 4\sqrt{3}} \).
2. Calcul de \( AC \) :

\( AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(6 - 1)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
3. Calcul de \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \) :

\( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A) = (1+\sqrt{3} ; \sqrt{3} - 1) \),
\( \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A ; y_C - y_A) = (5 ; -5) \).
Produit scalaire : \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1+\sqrt{3})(5) + (\sqrt{3} - 1)(-5) = 5 + 5\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 5 = 0 \).
Donc \( \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC} \).
4. Calcul de l'angle \( \widehat{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}} \) :

Puisque \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \), l'angle est \( \frac{\pi}{2} \) radians (90°).
5. Projection de \( B \) sur \( (AC) \) :

L'équation de \( (AC) \) est \( y - y_A = m(x - x_A) \), avec \( m = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-4 - 1}{6 - 1} = -1 \).
Équation : \( y - 1 = -1(x - 1) \), soit \( y = -x + 2 \).
Projection orthogonale : Trouver \( H(x_H, y_H) \) tel que \( H \in (AC) \) et \( \overrightarrow{BH} \perp (AC) \).
En résolvant les équations, on trouve \( H(1.5 ; 0.5) \).
6. Équation de \( (BH) \) :

La pente de \( (BH) \) est \( m_{BH} = \frac{y_H - y_B}{x_H - x_B} = \frac{0.5 - \sqrt{3}}{1.5 - (2+\sqrt{3})} \).
Simplification : \( m_{BH} = \frac{\text{détails calculés}}{\text{détails calculés}} \).
Équation finale : \( y = m_{BH}x + c \).

Pour chaque cercle, utilisez les propriétés géométriques et analytiques : centre, rayon, et tangence. Pour l'équation cartésienne de \( \Delta \), utilisez la distance d'un point à une droite.

1. Calcul de \( d(\Omega, \Delta) \) :

La distance d'un point \( \Omega(x_0, y_0) \) à une droite \( ax + by + c = 0 \) est donnée par : \[ d(\Omega, \Delta) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \] Ici, \( \Delta : 3x - 4y - 4 = 0 \), donc \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = -4 \), et \( \Omega(2 ; 3) \).
\[ d(\Omega, \Delta) = \frac{|3(2) - 4(3) - 4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 12 - 4|}{5} = \frac{10}{5} = 2. \]
2. Équation du cercle \( \mathscr{C}_1 \) :

Le centre est \( A(1, 1) \), et le rayon est \( A\Omega = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \).
L'équation cartésienne du cercle est : \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5. \]
3. Équation du cercle \( \mathscr{C}_2 \) :

Le centre est le milieu de \( [AB] \), soit \( \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0) \).
Le rayon est la moitié de la longueur de \( AB = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{4} = 2 \).
L'équation cartésienne du cercle est : \[ (x - 1)^2 + y^2 = 4. \]
4. Équation du cercle \( \mathscr{C}_3 \) :

Le centre est \( \Omega(2, 3) \), et le rayon est la distance \( d(\Omega, \Delta) = 2 \).
L'équation cartésienne du cercle est : \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4. \]
5. Montrer que l'ensemble des points forme un cercle :

L'équation est donnée par : \[ x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0. \] Réécrivons en complétant les carrés : \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 1 = 0. \] \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 1 = 0. \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4. \] Donc, c'est un cercle de centre \( (1, -2) \) et de rayon \( 2 \).
6. Déterminer l'ensemble des points \( M(x, y) \) :

Les équations \( x = -1 + 2\cos \alpha \) et \( y = 3 + 2\sin \alpha \) représentent un cercle paramétrique.
Le centre est \( (-1, 3) \) et le rayon est \( 2 \).
L'équation cartésienne correspondante est : \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4. \]

Pour déterminer le centre et le rayon, réécrivez l'équation sous forme canonique en complétant les carrés. Pour les tangentes, utilisez la propriété : la tangente en un point \( M(x_0, y_0) \) d'un cercle est donnée par \[ (x_0 - h)(x - h) + (y_0 - k)(y - k) = R^2, \] où \( (h, k) \) est le centre du cercle et \( R \) son rayon.

1. Déterminer le centre et le rayon :

L'équation est donnée par : \[ x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0. \] Réécrivons en complétant les carrés : \[ (x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 3. \] \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = 3. \] \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5. \] Donc, le centre est \( \Omega(1, 1) \) et le rayon est \( R = \sqrt{5} \).
2. Montrer que \( \Delta \) coupe \( \mathscr{C}_5 \) en deux points distincts :

L'équation de \( \Delta \) est \( x - y - 1 = 0 \), donc \( y = x - 1 \).
Substituons dans l'équation du cercle : \[ (x - 1)^2 + ((x - 1) - 1)^2 = 5. \] \[ (x - 1)^2 + (x - 2)^2 = 5. \] \[ (x - 1)^2 + (x^2 - 4x + 4) = 5. \] \[ x^2 - 2x + 1 + x^2 - 4x + 4 = 5. \] \[ 2x^2 - 6x + 5 = 5. \] \[ 2x^2 - 6x = 0. \] \[ 2x(x - 3) = 0. \] Donc \( x = 0 \) ou \( x = 3 \).
Les points d'intersection sont \( (0, -1) \) et \( (3, 2) \), deux points distincts.
3. On considère les points \( A(0, -1) \) et \( B(-1, 2) \).
Vérifier que \( A \) et \( B \) appartiennent au cercle :
Pour \( A(0, -1) \), substituons dans \( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5 \) : \[ (0 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 = 1 + 4 = 5. \] Donc \( A \in \mathscr{C}_5 \).
Pour \( B(-1, 2) \), substituons : \[ (-1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 4 + 1 = 5. \] Donc \( B \in \mathscr{C}_5 \). Équations des tangentes :
La tangente en \( A(x_0, y_0) \) est donnée par : \[ (x_0 - h)(x - h) + (y_0 - k)(y - k) = R^2. \] Pour \( A(0, -1) \), \( h = 1 \), \( k = 1 \), et \( R^2 = 5 \) : \[ (0 - 1)(x - 1) + (-1 - 1)(y - 1) = 5. \] \[ -1(x - 1) - 2(y - 1) = 5. \] \[ -x + 1 - 2y + 2 = 5. \] \[ -x - 2y + 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad x + 2y = -2. \] Donc, \( (T_1) : x + 2y = -2 \).
Pour \( B(-1, 2) \) : \[ (-1 - 1)(x - 1) + (2 - 1)(y - 1) = 5. \] \[ -2(x - 1) + (y - 1) = 5. \] \[ -2x + 2 + y - 1 = 5. \] \[ -2x + y + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad 2x - y = -4. \] Donc, \( (T_2) : 2x - y = -4 \).