Quiz et QCM : Formule de Taylor

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1. Quelle est la définition d'une série de Taylor d'ordre \( n \) d'une fonction \( f(x) \) ? ⭐

\( f(x) = \int_a^x f(t) \, dt \).
\( f(x) = f'(x) + \frac{f''(x)}{2} + \frac{f'''(x)}{6} \).
\( f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2 \).
\( f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \).

La série de Taylor utilise les dérivées successives de la fonction en un point \( a \).

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2. Quelle est l'erreur dans l'approximation par le polynôme de Taylor d'ordre \( n \) ? ⭐⭐

Reste de Lagrange : \( R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \).
Reste de Cauchy : \( R_n(x) = f'(x-a)^n \).
L'erreur est toujours nulle pour toute approximation.
L'erreur dépend de la dérivée seconde uniquement.

Le reste de Lagrange dépend de la \( (n+1) \)-ième dérivée de la fonction.

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3. La formule de Taylor permet d'approcher : ⭐⭐

Une fonction proche d'un point donné.
Les intégrales définies.
Les solutions d'une équation différentielle.
Les limites infinies.

La méthode repose sur une expansion locale autour d'un point \( a \).

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4. Si \( f(x) = e^x \), quel est le polynôme de Taylor d'ordre 3 autour de \( a = 0 \) ? ⭐⭐⭐

\( 1 + x + x^2 + x^3 \).
\( e + xe + \frac{x^2}{2}e \).
\( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \).
\( x^3 \).

La fonction \( e^x \) est égale à la somme de ses dérivées successives.

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5. La formule de Taylor est particulièrement utile pour : ⭐⭐⭐

Calculer des intégrales doubles.
Approcher des fonctions complexes par des polynômes simples.
Calculer directement les dérivées.
Résoudre des systèmes linéaires.

Pensez à l'approximation locale près d'un point \( a \).

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6. Quel est le polynôme de Taylor d'ordre 2 pour \( f(x) = \ln(1+x) \) autour de \( a = 0 \) ? ⭐⭐⭐⭐

\( \ln(1+x) \).
\( x - \frac{x^2}{2} \).
\( x + \frac{x^2}{2} \).
\( x - x^2 \).

Utilisez les dérivées successives de \( \ln(1+x) \) et évaluez-les en \( x = 0 \).

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7. Dans quel cas la série de Taylor est-elle équivalente à la fonction elle-même ? ⭐⭐⭐⭐⭐

Lorsque la série est convergente et la fonction analytique.
Lorsque \( n \to \infty \) sans autres conditions.
Lorsqu'elle est polynomiale.
Lorsqu'elle est périodique.

Certaines fonctions analytiques sont entièrement représentées par leur série.

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8. Si \( f(x) = \sin(x) \), que vaut son développement de Taylor d'ordre 4 autour de \( a = 0 \) ? ⭐⭐⭐⭐⭐

\( x + \frac{x^3}{6} \).
\( x - \frac{x^2}{2} \).
\( x + \frac{x^4}{24} \).
\( x - \frac{x^3}{6} \).

Utilisez uniquement les termes impairs, car les dérivées paires de \( \sin(x) \) en 0 sont nulles.

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9. La formule de Taylor peut être utilisée pour approximer une fonction lorsque : ⭐⭐⭐⭐

La fonction est définie uniquement sur un intervalle borné.
La fonction est strictement croissante.
La fonction est suffisamment dérivable autour du point considéré.
La fonction est paire ou impaire.

Pour que la formule de Taylor soit valide, les dérivées jusqu'à un certain ordre doivent exister.

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10. Comment évolue l'erreur d'approximation par le polynôme de Taylor d'ordre \( n \) lorsque \( n \to \infty \) ? ⭐⭐⭐⭐⭐

L'erreur devient infinie si \( n \to \infty \).
L'erreur tend vers 0 si la série de Taylor converge vers la fonction.
L'erreur reste constante quelle que soit la valeur de \( n \).
L'erreur tend vers une valeur finie non nulle.

La convergence dépend de la nature de la fonction et de son analyticité.

LexMath

Quiz et QCM : Formule de Taylor

Quiz : Formule de Taylor et applications

1. Quelle est la définition d'une série de Taylor d'ordre \( n \) d'une fonction \( f(x) \) ? ⭐

2. Quelle est l'erreur dans l'approximation par le polynôme de Taylor d'ordre \( n \) ? ⭐⭐

3. La formule de Taylor permet d'approcher : ⭐⭐

4. Si \( f(x) = e^x \), quel est le polynôme de Taylor d'ordre 3 autour de \( a = 0 \) ? ⭐⭐⭐

5. La formule de Taylor est particulièrement utile pour : ⭐⭐⭐

6. Quel est le polynôme de Taylor d'ordre 2 pour \( f(x) = \ln(1+x) \) autour de \( a = 0 \) ? ⭐⭐⭐⭐

7. Dans quel cas la série de Taylor est-elle équivalente à la fonction elle-même ? ⭐⭐⭐⭐⭐

8. Si \( f(x) = \sin(x) \), que vaut son développement de Taylor d'ordre 4 autour de \( a = 0 \) ? ⭐⭐⭐⭐⭐

9. La formule de Taylor peut être utilisée pour approximer une fonction lorsque : ⭐⭐⭐⭐

10. Comment évolue l'erreur d'approximation par le polynôme de Taylor d'ordre \( n \) lorsque \( n \to \infty \) ? ⭐⭐⭐⭐⭐

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