Réduction de Jordan et Décomposition de Dunford

Sous-espaces caractéristiques

Définition

Les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme \( f \) d'un espace vectoriel \( E \) sont des sous-espaces associés à une valeur propre \( \lambda \). Ils permettent de mieux comprendre la structure de \( f \). Pour une valeur propre \( \lambda \), on définit le sous-espace caractéristique \( E_{\lambda} \) comme suit :

\[ E_{\lambda} = \bigcup_{k \geq 1} \ker \left( (f - \lambda I)^k \right) \] où \( k \) est un entier positif tel que \( \ker \left( (f - \lambda I)^k \right) = \ker \left( (f - \lambda I)^{k+1} \right) \).

Propriétés principales

• Stabilité : Chaque sous-espace caractéristique est stable par \( f \).
• Décomposition : L'espace vectoriel \( E \) peut être décomposé comme une somme directe des sous-espaces caractéristiques associés à ses valeurs propres distinctes.
• Diagonalisation : Si \( f \) est diagonalisable, alors \( E_{\lambda} = \ker(f - \lambda I) \), c'est-à-dire que le sous-espace caractéristique coïncide avec l'espace propre.

Théorème

Soit \( f \) un endomorphisme d'un espace vectoriel \( E \) de dimension finie. Si \( \chi_f \), le polynôme caractéristique de \( f \), est scindé sur le corps \( \mathbb{K} \), alors \( E \) est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de \( f \).

Exemple

Considérons l'endomorphisme \( f \) représenté par la matrice suivante sur \( \mathbb{R}^3 \) : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] Les valeurs propres de \( A \) sont \( \lambda_1 = 2 \) et \( \lambda_2 = 3 \). Calculons les sous-espaces caractéristiques associés.

Pour \( \lambda_1 = 2 \) : \[ \ker((A - 2I)^2) = \ker \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \text{Vect} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \]

Pour \( \lambda_2 = 3 \) : \[ \ker((A - 3I)^2) = \ker \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \text{Vect} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \]

Remarque

Les sous-espaces caractéristiques permettent de décrire les propriétés structurelles de \( f \), en particulier dans le cadre de la réduction de Jordan et des applications comme la trigonalisation.

Réduction de Jordan pour les endomorphismes nilpotents

Un endomorphisme \( f \) d’un espace vectoriel \( E \) est dit nilpotent s'il existe un entier \( k \in \mathbb{N}^* \) tel que \( f^k = 0 \), où \( f^k \) désigne la composition de \( f \) avec elle-même \( k \) fois.

Théorème :

Tout endomorphisme nilpotent est semblable à une matrice de Jordan formée uniquement de blocs nilpotents. La taille de chaque bloc correspond à la longueur maximale des chaînes de vecteurs généralisés associées. Ces chaînes sont définies comme suit :

Une chaîne de vecteurs généralisés pour un endomorphisme \( f \) est une suite \( (v, f(v), f^2(v), \ldots, f^{k-1}(v)) \) où \( v \neq 0 \) et \( f^k(v) = 0 \).

Étapes pour construire la réduction de Jordan :

1. Déterminer le degré de nilpotence \( k \), c’est-à-dire le plus petit entier tel que \( f^k = 0 \).
2. Calculer les noyaux successifs \( \ker(f^i) \) pour \( i = 1, 2, \ldots, k \).
3. Organiser les vecteurs généralisés en chaînes pour former les blocs de Jordan.

Exemple : Soit la matrice suivante :

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Cette matrice est nilpotente car \( A^3 = 0 \). En calculant les noyaux successifs :

• \( \ker(A) = \{0\} \),
• \( \ker(A^2) = \text{Vect}(e_3) \),
• \( \ker(A^3) = \mathbb{R}^3 \).

La matrice est déjà sous forme de Jordan avec un unique bloc nilpotent de taille 3.

Exercice : Trouvez la réduction de Jordan pour la matrice nilpotente suivante :

\[B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Réduction de Jordan pour les endomorphismes avec polynôme caractéristique scindé

Un endomorphisme \( f \) est dit réductible en blocs de Jordan si son polynôme caractéristique \( \chi_f(x) \) est scindé, c’est-à-dire qu’il peut s’écrire sous la forme :

\[ \chi_f(x) = (x - \lambda_1)^{m_1} (x - \lambda_2)^{m_2} \cdots (x - \lambda_r)^{m_r}. \]

Théorème : Si le polynôme caractéristique \( \chi_f(x) \) est scindé, alors \( f \) admet une réduction de Jordan si, et seulement si, pour chaque valeur propre \( \lambda \), la multiplicité algébrique \( m_\lambda \) (dans \( \chi_f(x) \)) est égale à la dimension de l’espace propre généralisé :

\[ \dim \ker((f - \lambda I)^k), \quad \text{avec } k \text{ suffisamment grand.} \]

Étapes pour construire la réduction de Jordan :

1. Déterminer les valeurs propres \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r \) à partir de \( \chi_f(x) \).
2. Pour chaque \( \lambda \), calculer les espaces propres généralisés \( \ker((f - \lambda I)^i) \) pour \( i = 1, 2, \ldots \).
3. Organiser les vecteurs généralisés en chaînes de Jordan.

Exemple : Soit la matrice suivante :

\[ C = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \]

Le polynôme caractéristique est \( (x - 3)^3 \). La matrice est déjà sous forme de Jordan avec un unique bloc associé à \( \lambda = 3 \).

Exercice : Déterminez la matrice de Jordan pour une matrice ayant le polynôme caractéristique suivant :

\[ \chi(x) = (x - 2)^2 (x - 4). \]

Décomposition de Dunford

La décomposition de Dunford est une généralisation de la décomposition de Jordan. Elle consiste à séparer un endomorphisme \( f \) en deux composantes principales :

\[ f = f_s + f_n, \]

où :

• \( f_s \) est un endomorphisme semi-simple (ou diagonalisable sur le corps de base).
• \( f_n \) est un endomorphisme nilpotent (tel que \( f_n^k = 0 \) pour un entier \( k \)).

Ces deux composantes \( f_s \) et \( f_n \) satisfont la condition fondamentale :

\[ f_s f_n = f_n f_s. \]

Cette décomposition est unique et permet d'étudier la structure des endomorphismes dans des espaces vectoriels de dimension finie.

Étapes pour obtenir la décomposition de Dunford

1. Calculer le polynôme minimal \( \mu_f(x) \) de l’endomorphisme \( f \). Ce polynôme est scindé en facteurs premiers distincts : \[ \mu_f(x) = (x - \lambda_1)^{k_1} (x - \lambda_2)^{k_2} \cdots (x - \lambda_r)^{k_r}. \]
2. Déterminer \( f_s \), la partie semi-simple de \( f \), en construisant une matrice diagonale ou une somme de projections correspondant aux valeurs propres de \( f \).
3. Calculer \( f_n \) comme étant la différence : \[ f_n = f - f_s. \]

Théorème de Dunford

Énoncé : Tout endomorphisme \( f \) d’un espace vectoriel de dimension finie \( E \) sur un corps \( K \) peut être écrit comme la somme :

\[ f = f_s + f_n, \]

où \( f_s \) est semi-simple, \( f_n \) est nilpotent, et \( f_s \) commute avec \( f_n \). La décomposition est unique.

Exemple

Soit l’endomorphisme \( f \) représenté par la matrice suivante :

\[A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. \]

Étape 1 : Le polynôme caractéristique est \( \chi_A(x) = (x - 3)^3 \). Le polynôme minimal est \( \mu_A(x) = (x - 3)^3 \), donc \( A \) est trigonal et non diagonalisable.

Étape 2 : La partie semi-simple \( A_s \) est obtenue en remplaçant tous les termes non-diagonaux par zéro :

\[A_s = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. \]

Étape 3 : La partie nilpotente \( A_n \) est donnée par :

\[ A_n = A - A_s = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

Ainsi, \( A = A_s + A_n \), et \( A_n^3 = 0 \), vérifiant que \( A_n \) est nilpotente.

Remarque

La décomposition de Dunford est utile pour simplifier les calculs avec des endomorphismes, notamment pour :

• Calculer les puissances d’une matrice \( A^n \) en utilisant \( A_s \) et \( A_n \) séparément.
• Étudier les propriétés spectrales et géométriques d’un endomorphisme.

Exercice

Trouvez la décomposition de Dunford pour la matrice suivante :

\[B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}. \]

Vérifiez que \( B_s \) est semi-simple et \( B_n \) est nilpotente.

Applications de la décomposition de Jordan

La décomposition de Jordan, qui exprime une matrice comme étant semblable à une matrice en blocs de Jordan, trouve de nombreuses applications pratiques et théoriques en mathématiques et en physique. Voici quelques applications principales :

Calcul des puissances de matrices

Lorsque la matrice \( A \) est réduite en une forme de Jordan \( J \) telle que \( A = PJP^{-1} \), on peut calculer les puissances de \( A \) efficacement grâce à la relation :

\[ A^n = P J^n P^{-1}. \]

Les puissances de \( J \) sont faciles à calculer, car chaque bloc de Jordan \( J_k \) (associé à une valeur propre \( \lambda \)) a une structure simple :

\[ J_k^n = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{bmatrix}^n. \]

Cette structure permet de calculer chaque terme en fonction des coefficients binomiaux et des puissances de \( \lambda \).

Exemple : Soit \( A \) une matrice ayant la forme de Jordan suivante :

\[J = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. \]

La matrice \( J^n \) s'écrit :

\[ J^n = \begin{bmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{bmatrix}. \]

Calcul de l'exponentielle de matrices

La décomposition de Jordan est particulièrement utile pour calculer l'exponentielle d'une matrice \( A \), définie par :

\[ e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}. \]

En utilisant la réduction \( A = PJP^{-1} \), on obtient :

\[ e^A = P e^J P^{-1}, \]

où \( e^J \) est calculé facilement, car chaque bloc de Jordan \( J_k \) a une exponentielle donnée par :

\[ e^{J_k} = \begin{bmatrix} e^\lambda & e^\lambda t & \frac{e^\lambda t^2}{2!} & \cdots \\ 0 & e^\lambda & e^\lambda t & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & e^\lambda \end{bmatrix}, \]

où \( \lambda \) est la valeur propre associée.

Exemple : Trouver \( e^A \) pour la matrice suivante :

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. \]

La matrice est déjà sous forme de Jordan avec \( \lambda = 2 \). On obtient :

\[ e^A = \begin{bmatrix} e^2 & e^2 \\ 0 & e^2 \end{bmatrix}. \]

Résolution d'équations différentielles linéaires

La décomposition de Jordan est utile pour résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires de la forme :

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}, \]

où \( A \) est une matrice carrée et \( \mathbf{x}(t) \) est un vecteur fonction. En utilisant \( A = PJP^{-1} \), la solution générale s'écrit :

\[ \mathbf{x}(t) = P e^{Jt} P^{-1} \mathbf{x}(0). \]

Exemple : Considérons le système :

\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{x}. \]

La solution s'écrit :

\[ \mathbf{x}(t) = e^t \begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{x}(0). \]

Étude des comportements asymptotiques

La forme de Jordan permet d’analyser les comportements asymptotiques des puissances \( A^n \) ou des exponentielles \( e^{tA} \). Par exemple :

• Si la valeur propre dominante \( \lambda_{\text{max}} \) de \( A \) est unique, alors \( A^n \) est asymptotiquement équivalente à \( \lambda_{\text{max}}^n \mathbf{v}\mathbf{w}^T \), où \( \mathbf{v} \) et \( \mathbf{w} \) sont les vecteurs propres associés.
• Les contributions des blocs nilpotents disparaissent asymptotiquement lorsque \( t \to \infty \).

Exercices

1. Calculez \( A^5 \) pour la matrice : \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}. \]
2. Trouvez l'exponentielle \( e^A \) pour la matrice donnée dans l'exemple précédent.
3. Résolvez le système différentiel : \[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}. \]

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