Calcul Vectoriel : 8 Exercices Corrigés
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Exercice 01 : Alignement de points dans un triangle

Énoncé

Soit \( ABC \) un triangle et soient \( I, J \) et \( K \) les points définis par :

\[ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AJ} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AK} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}. \]

  1. Tracer une figure.
  2. Montrer que :

    \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{JK} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}. \]

  3. Déduire que les points \( I, J \) et \( K \) sont alignés.

Indication

  1. Exprimez les vecteurs \( \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{JK} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \).
  2. Montrez que ces vecteurs sont colinéaires pour conclure l'alignement.

Corrigée

  1. Calculons \( \overrightarrow{IJ} \) :

    2. \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}. \]

  2. Calculons \( \overrightarrow{JK} \) :

    3. \[ \overrightarrow{JK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AJ} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}. \]

  3. Montrons que \( \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{JK} \) sont colinéaires :

    4. \[ \overrightarrow{JK} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{IJ}. \]

    Donc, les points \( I, J, K \) sont alignés.

Exercice 02 : Intersection de droites

Énoncé

Dans un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), on considère les points :

\( A(1, 2) \), \( B(3, 5) \), \( C(6, 1) \), \( D(2, -1) \).

  1. Déterminer une équation de la droite \( (AB) \).
  2. Déterminer une équation de la droite \( (CD) \).
  3. Montrer que ces deux droites se coupent en un point que l'on précisera.

Indication

  1. Utilisez la formule de l’équation d’une droite passant par deux points : \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] où \( m \) est le coefficient directeur.
  2. Résolvez le système des deux équations pour trouver l'intersection.

Corrigée

  1. Équation de la droite \( (AB) \) :

    2. \[ m = \frac{5 - 2}{3 - 1} = \frac{3}{2} \] \[ y - 2 = \frac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}. \]

  2. Équation de la droite \( (CD) \) :

    3. \[ m = \frac{1 + 1}{6 - 2} = \frac{1}{2} \] \[ y + 1 = \frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - 2. \]

  3. Résolution du système :

    4. \[ \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x - 2 \] \[ x = -2, \quad y = -3. \]

    Les droites se coupent en \( (-2, -3) \).

Exercice 03 : Droite parallèle

Énoncé

Dans un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), on considère la droite \( D \) d’équation :

\[ y = -2x + 3. \]

  1. Déterminer l’équation de la droite \( D' \) parallèle à \( D \) et passant par \( P(4,1) \).
  2. Tracer les deux droites dans un même repère.

Indication

  1. Une droite parallèle à \( D \) a le même coefficient directeur \( m = -2 \).
  2. Utilisez la formule \( y - y_0 = m(x - x_0) \) pour trouver l’équation.

Corrigée

  1. Équation de la droite \( D' \) :

    2. \[ y - 1 = -2(x - 4) \] \[ y = -2x + 9. \]

  2. La droite \( D' \) est donc parallèle à \( D \) et passe par \( P(4,1) \).

Exercice 04 : Points alignés dans un triangle

Énoncé

Soit \( ABC \) un triangle et soit \( I \) le milieu de \([AB]\).

  1. a. Construire le point \( J \) tel que \( \overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AC} \).

    b. Montrer que :

    \[ \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}. \]

  2. Soit \( K \) le point défini par :

    \[ 2 \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}. \]

    a. Exprimer le vecteur \( \overrightarrow{BK} \) en fonction de \( \overrightarrow{BC} \), puis construire le point \( K \).

    b. Montrer que les points \( I, J \) et \( K \) sont alignés.

Indication

  1. Utilisez la relation vectorielle pour exprimer \( \overrightarrow{BK} \) et vérifiez l’alignement des points en montrant que les vecteurs sont colinéaires.
  2. Pour le point \( K \), exprimez \( \overrightarrow{KC} \) en fonction de \( \overrightarrow{BC} \).

Corrigée

  1. Calculons \( \overrightarrow{IJ} \) :

    2. \[ \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}. \]

  2. Pour \( K \), exprimons \( \overrightarrow{BK} \) :

    3. \[ \overrightarrow{BK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}. \]

  3. Vérification de l’alignement :

    4. \[ \overrightarrow{IJ} = 2 \overrightarrow{BK}, \quad \text{donc } I, J \text{ et } K \text{ sont alignés}. \]

Exercice 05 : Points alignés dans un parallélogramme

Énoncé

Soit \( ABCD \) un parallélogramme et soient \( E \) et \( F \) les points définis par :

\[ \overrightarrow{CE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CD}, \quad \overrightarrow{AF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AE}. \]

  1. Montrer que :

    2. \[ \overrightarrow{FE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{FA}, \quad \overrightarrow{FC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{FB}. \]

  2. Déduire que les points \( B, C \) et \( F \) sont alignés.

Indication

  1. Exprimez \( \overrightarrow{FE} \) et \( \overrightarrow{FC} \) à partir des relations données.
  2. Montrez que ces vecteurs sont colinéaires pour conclure sur l’alignement.

Corrigée

  1. Calculons \( \overrightarrow{FE} \) :

    2. \[ \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AE}. \]

  2. Calculons \( \overrightarrow{FC} \) :

    3. \[ \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{FB}. \]

  3. Conclusion :

    4. \[ \overrightarrow{FC} = k \overrightarrow{FE} \text{ avec } k = 1, \text{ donc } B, C \text{ et } F \text{ sont alignés}. \]

Exercice 06 : Milieux et alignement dans un triangle

Énoncé

Soit \( ABC \) un triangle et soient \( A', B', C' \) les milieux respectifs des côtés \([BC], [AC]\) et \([AB]\).

  1. Montrer que :

    \[ \overrightarrow{BB'} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{CC'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}. \]

  2. Soient \( E \) et \( F \) les points du plan définis par :

    \[ \overrightarrow{BE} = 2 \overrightarrow{BB'}, \quad \overrightarrow{CF} = 2 \overrightarrow{CC'}. \]

    1. Quelle est la nature de chacun des quadrilatères \( ACBF \) et \( ABCE \) ?
    2. Montrer que les points \( A, E \) et \( F \) sont alignés.

Indication

  1. Utilisez la propriété du milieu d'un segment pour exprimer les vecteurs.
  2. Déduisez la nature des quadrilatères en analysant leurs diagonales.
  3. Montrez que \( \overrightarrow{AE} \) et \( \overrightarrow{AF} \) sont colinéaires.

Corrigée

  1. Déterminons \( \overrightarrow{BB'} \) et \( \overrightarrow{CC'} \) :

    2. \[ \overrightarrow{BB'} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{CC'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}. \]

  2. Calculons \( \overrightarrow{BE} \) et \( \overrightarrow{CF} \) :

    3. \[ \overrightarrow{BE} = - \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB}. \]

  3. Analyse des quadrilatères :

    4. \( ACBF \) et \( ABCE \) sont des parallélogrammes car leurs diagonales se coupent en leur milieu.

  4. Alignement de \( A, E, F \) :

    5. \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}. \]

    Les vecteurs \( \overrightarrow{AE} \) et \( \overrightarrow{AF} \) sont égaux, donc les points \( A, E, F \) sont alignés.

Exercice 07 : Centres de gravité et vecteurs

Énoncé

Soit ABC un triangle, I, J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB], et G le point d'intersection des médianes (AI) et (BI).

  1. Soit L le milieu du segment [JC].
    1. Montrer que \( \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AI} \), puis exprimer \( \overrightarrow{AG} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \). (Indice : utiliser le théorème de Thalès dans le triangle AIL)
    1. Exprimer \( \overrightarrow{BG} \) en fonction de \( \overrightarrow{BI} \), puis \( \overrightarrow{CG} \) en fonction de \( \overrightarrow{CK} \).
    2. Que peut-on déduire de ces résultats ?
  3. Montrer que \( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \).

Indication

  1. Utiliser la propriété du centre de gravité et la relation de Thalès pour les rapports de vecteurs.
  2. Exprimer les vecteurs en utilisant les définitions des milieux et les propriétés d'associativité.
  3. Utiliser les résultats précédents et la définition du centre de gravité.

Corrigée

  1. 1.a. Par le théorème du centre de gravité, \( G \) divise \( AI \) dans le rapport \( 2:1 \), donc \( \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AI} \). Comme \( I \) est le milieu de \( BC \), \( \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \). Ainsi :

    \[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}). \]

  2. 2.a. De même, \( \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BI} \) et \( \overrightarrow{CG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CK} \).

    2.b. Cela confirme que \( G \) est le centre de gravité du triangle \( ABC \), car il est situé aux \( \frac{2}{3} \) de chaque médiane.

  3. En utilisant les expressions des vecteurs :

    \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - \frac{2}{3}\overrightarrow{BI} - \frac{2}{3}\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0}. \]

Exercice 08 : Milieu et vecteurs

Énoncé

Soit ABC un triangle et soient \( P \) et \( Q \) les points définis par :

\[ \overrightarrow{AP} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{CB}, \quad \overrightarrow{CQ} = -2\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}. \]

  1. Tracer une figure représentative.
  2. Montrer que \( B \) est le milieu du segment \( [PQ] \).

Indication

  1. Exprimer les coordonnées de \( P \) et \( Q \) en fonction de \( A \), \( B \), et \( C \).
  2. Montrer que \( \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BQ} \) en utilisant les relations vectorielles.

Corrigée

  1. 1. La figure est laissée au lecteur.

  2. 2. Exprimons \( \overrightarrow{BP} \) et \( \overrightarrow{BQ} \) :

    \[ \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AB}. \]

    De même,

    \[ \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{CQ} - \overrightarrow{CB} = -2\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}. \]

    En simplifiant les expressions, on vérifie que \( \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BQ} \), donc \( B \) est le milieu de \( [PQ] \).

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