Droite Dans le Plan : 7 Exercices Corrigés
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Exercice 01 : Vecteurs et distances

Énoncé

On considère les points suivants : \( A(1; 3) \), \( B(-1; 2) \) et \( C(-2; -1) \).

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : \[ \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{BC}. \]
  2. Calculer les distances suivantes : \[ AB, \quad AC, \quad BC. \]
  3. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : \[ 2 \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{BC}. \]
  4. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : \[ 2 \overrightarrow{AB} + (-3) \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}. \]
  5. Déterminer les coordonnées du point \( I \), milieu du segment \( [AB] \).
  6. Soient \( \overrightarrow{u}(3x + 1; 2) \) et \( \overrightarrow{v}(4; y - 3) \) deux vecteurs. Déterminer \( x \) et \( y \) pour que \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \).

Indication

  • Utilisez les formules : \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) \quad \text{et} \quad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]
  • Pour trouver le milieu d'un segment : \[ I \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right). \]
  • Résolvez un système d'équations pour égaler les composantes des vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \).

Corrigée

  1. Les coordonnées des vecteurs sont : \[ \overrightarrow{AB} = (-2; -1), \quad \overrightarrow{AC} = (-3; -4), \quad \overrightarrow{BC} = (-1; -3). \]

  2. Les distances sont : \[ AB = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}, \quad AC = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5, \quad BC = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}. \]

  3. Les coordonnées du vecteur \( 2 \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{BC} \) sont : \[ 2(-2; -1) - 3(-1; -3) = (-4 + 3; -2 + 9) = (-1; 7). \]

  4. Pour le vecteur \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \) : \[ (-2; -1) + (-3; -4) = (-5; -5). \]

  5. Les coordonnées du point \( I \), milieu de \( [AB] \), sont : \[ I \left( \frac{1 + (-1)}{2}; \frac{3 + 2}{2} \right) = (0; 2.5). \]

  6. Égalons les composantes de \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) : \[ 3x + 1 = 4 \quad \text{et} \quad 2 = y - 3. \] On obtient \( x = 1 \) et \( y = 5 \).

Exercice 02 : Étude de colinéarité et alignement de points

Énoncé

Soient les vecteurs \( \overrightarrow{u} (1; -2) \), \( \overrightarrow{v} (-4; 1) \) et \( \overrightarrow{w} (2m - 3; 2) \), avec \( m \in \mathbb{R} \).

  1. Étudier la colinéarité des vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \).
  2. Déterminer la valeur du nombre \( m \) pour que les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{w} \) soient colinéaires.
  3. Déterminer la valeur du nombre \( m \) pour que les vecteurs \( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) soient colinéaires.

Indication

  • Deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel \( k \) tel que \( \overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{v} \).
  • Utilisez les composantes des vecteurs pour établir une proportion entre les coordonnées.

Corrigé

  1. Vérification de la colinéarité de \( \overrightarrow{u} (1; -2) \) et \( \overrightarrow{v} (-4; 1) \) : \[ \frac{1}{-4} \neq \frac{-2}{1}. \] Les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) ne sont pas colinéaires.

  2. Pour que \( \overrightarrow{u} (1; -2) \) et \( \overrightarrow{w} (2m - 3; 2) \) soient colinéaires : \[ \frac{1}{2m - 3} = \frac{-2}{2}. \] En simplifiant, on obtient : \[ 2m - 3 = 1 \implies m = 2. \]

  3. Pour que \( \overrightarrow{v} (-4; 1) \) et \( \overrightarrow{w} (2m - 3; 2) \) soient colinéaires : \[ \frac{-4}{2m - 3} = \frac{1}{2}. \] En simplifiant, on trouve : \[ 2(2m - 3) = -4 \implies 4m - 6 = -4 \implies m = \frac{1}{2}. \]

Exercice 03 : Parallélisme et alignement de points

Énoncé

On considère les points suivants : \( A(-1;2) \); \( B(2;-1) \); \( C(1;3) \); \( D(-2;-3) \) et \( E(0;1) \).

  1. Montrer que \( (AC) \parallel (BD) \).
  2. Soient \( I \) et \( J \) les milieux des segments \([AC]\) et \([BD]\) respectivement. Montrer que les points \( E, I \) et \( J \) sont alignés.

Indication

  1. Pour montrer que \( (AC) \parallel (BD) \), vérifiez que les vecteurs directeurs de ces droites sont colinéaires.
  2. Pour montrer que \( E, I, J \) sont alignés, exprimez les vecteurs \( \overrightarrow{EI} \) et \( \overrightarrow{EJ} \) et montrez qu'ils sont colinéaires.

Corrigée

  1. Calculons les vecteurs directeurs de \( (AC) \) et \( (BD) \) :

    2. \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - (-1); 3 - 2) = (2; 1) \]

    \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (-2 - 2; -3 - (-1)) = (-4; -2) \]

    On remarque que \( \overrightarrow{BD} = -2 \overrightarrow{AC} \), donc \( (AC) \parallel (BD) \).

  2. Calculons les coordonnées des milieux \( I \) et \( J \) :

    3. \[ I = \left( \frac{-1 + 1}{2}; \frac{2 + 3}{2} \right) = (0; 2.5) \]

    \[ J = \left( \frac{2 + (-2)}{2}; \frac{-1 + (-3)}{2} \right) = (0; -2) \]

  3. Calculons les vecteurs \( \overrightarrow{EI} \) et \( \overrightarrow{EJ} \) :

    4. \[ \overrightarrow{EI} = I - E = (0 - 0; 2.5 - 1) = (0; 1.5) \]

    \[ \overrightarrow{EJ} = J - E = (0 - 0; -2 - 1) = (0; -3) \]

    On remarque que \( \overrightarrow{EJ} = -2 \overrightarrow{EI} \), donc les points \( E, I, J \) sont alignés.

Exercice 04 : Droites et vecteurs dans le plan

Énoncé

  1. Déterminer une équation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite \( (D) \) passant par le point \( A \) et dirigée par le vecteur \( \overrightarrow{u} \) dans les cas suivants :

    2. a) \( A(2;0); \overrightarrow{u}(1;2) \)

    b) \( A(1;4); \overrightarrow{u}(2;3) \)

  2. Déterminer une équation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite \( (AB) \) dans les cas suivants :

    3. a) \( A(-1;3); B(1;-2) \)

    b) \( A(2;-1); B(-2;0) \)

Indication

  1. Pour la question 1, utilisez la formule de la droite dirigée par un vecteur.
  2. Pour la question 2, utilisez les coordonnées des points \( A \) et \( B \) pour déterminer l'équation de la droite.

Corrigée

  1. Pour la question 1a :

    2. \[ \text{Équation cartésienne} : y = 2x - 4. \]

    \[ \text{Représentation paramétrique} : \left\{ \begin{aligned} x &= 2 + t \\ y &= 2t \end{aligned} \right. \]

  2. Pour la question 1b :

    3. \[ \text{Équation cartésienne} : y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}. \]

    \[ \text{Représentation paramétrique} : \left\{ \begin{aligned} x &= 1 + 2t \\ y &= 4 + 3t \end{aligned} \right. \]

  3. Pour la question 2a :

    4. \[ \text{Équation cartésienne} : y = -\frac{5}{2}x + \frac{7}{2}. \]

    \[ \text{Représentation paramétrique} : \left\{ \begin{aligned} x &= -1 + 2t \\ y &= 3 - 5t \end{aligned} \right. \]

  4. Pour la question 2b :

    5. \[ \text{Équation cartésienne} : y = \frac{1}{2}x - 1. \]

    \[ \text{Représentation paramétrique} : \left\{ \begin{aligned} x &= 2 - 4t \\ y &= -1 + 2t \end{aligned} \right. \]

Exercice 05 : Intersection de plans dans l'espace

Énoncé

Considérons les deux plans \( P \) et \( Q \) définis par les équations :

\[ P : ax + by + cz + d = 0, \quad Q : a'x + b'y + c'z + d' = 0. \]

  1. Déterminer une équation cartésienne de l'intersection des plans \( P \) et \( Q \).
  2. Déterminer une représentation paramétrique de l'intersection des plans \( P \) et \( Q \).

Indication

  1. Pour la question 1, utilisez la méthode de combinaison linéaire des équations des plans.
  2. Pour la question 2, trouvez des points et un vecteur directeur de la droite d'intersection.

Corrigée

  1. Pour la question 1 :

    2. Une combinaison linéaire des équations des plans donne :

    \[ \lambda(ax + by + cz + d) + \mu(a'x + b'y + c'z + d') = 0. \]

  2. Pour la question 2 :

    3. La droite d'intersection peut être représentée paramétriquement par :

    \[ \left\{ \begin{aligned} x &= x_0 + tv_1 \\ y &= y_0 + tv_2 \\ z &= z_0 + tv_3 \end{aligned} \right. \]

    où \( (x_0, y_0, z_0) \) est un point sur la droite et \( (v_1, v_2, v_3) \) est un vecteur directeur.

Exercice 06 : Calcul des distances

Énoncé

Soit \( A(3, -2) \) et \( B(5, 4) \) deux points du plan.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de \( AB \).
  2. Le point \( C(4, -1) \) appartient-il à la droite \( AB \) ?
  3. Donner une équation cartésienne de la droite \( D \).

Indication

  1. Utilisez la formule pour la représentation paramétrique d'une droite.
  2. Vérifiez si le point \( C \) satisfait l'équation de la droite.

Corrigée

  1. La représentation paramétrique de la droite \( AB \) est donnée par :

    2. \[ \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -2 + 6t \quad (t \in \mathbb{R}) \end{cases} \]

  2. Pour vérifier si le point \( C(4, -1) \) appartient à la droite, remplacez \( x \) et \( y \) dans l'équation paramétrique :

    3. Pour \( x = 4 \), on a \( t = \frac{1}{2} \); vérifiez si \( y \) correspond :

    \[ y = -2 + 6 \times \frac{1}{2} = -2 + 3 = 1 \quad \text{(non, donc \( C \) n'appartient pas à \( AB \))}. \]

  3. L'équation cartésienne de la droite \( D \) est :

    4. \[ y = 2x - 8. \]

Exercice 07 : Droite dans le plan

Énoncé

On considère les points \( A(3, 2) \) et \( B(2, -1) \) et la droite \( D \) d’équation cartésienne \( 3x - y + 6 = 0 \).

  1. Montrer que \( AB \parallel D \).
  2. Donner une équation cartésienne de la droite \( D' \) passant par \( A \) et dirigée par le vecteur \( (4, -1) \).
  3. Montrer que \( D \) et \( D' \) sont sécantes en \( E(1, -3) \).
  4. Soit \( F(\alpha, 0) \) un point du plan. Déterminer le nombre \( \alpha \) pour que le quadrilatère \( ABFE \) soit un parallélogramme.

Indication

  1. Pour montrer que \( AB \parallel D \), comparez les pentes des deux droites.
  2. Utilisez la forme vectorielle pour trouver l'équation de \( D' \).
  3. Pour déterminer l'intersection, résolvez le système formé par les équations de \( D \) et \( D' \).

Corrigée

  1. La pente de \( AB \) est donnée par \( \frac{-1 - 2}{2 - 3} = 3 \). La pente de \( D \) est \( 3 \). Donc, \( AB \parallel D \).
  2. L'équation de la droite \( D' \) passant par \( A \) et ayant pour direction \( (4, -1) \) est :

    3. \[ y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 3) \Rightarrow 4y = -x + 14 \Rightarrow x + 4y - 14 = 0. \]

  3. Pour trouver l'intersection \( E \), résolvez le système :

    4. \[ \begin{cases} 3x - y + 6 = 0 \\ x + 4y - 14 = 0 \end{cases} \]

    On obtient \( E(1, -3) \).

  4. Pour que \( ABFE \) soit un parallélogramme, \( F \) doit vérifier :
    5. \[ \alpha = 2. \]
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