Equations et Inéquations 3eme année Collège

Équations du premier degré à une inconnue

Une équation du type \( ax + b = cx + d \) admet toujours une solution unique.

1. Vocabulaire et propriétés

Définition

Une équation du premier degré à une inconnue \( x \) s'écrit sous la forme :

\[ ax + b = cx + d \]

où \( a \), \( b \), \( c \), et \( d \) sont des nombres réels.

Propriété fondamentale

Toute équation du premier degré à une inconnue possède exactement une solution.

2. Méthode de résolution

Objectif

Isoler \( x \) pour trouver la valeur qui vérifie l'égalité.

Exemples détaillés

1. Équation : \( x + 4 = 1 \)

   \[ x + 4 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 - 4 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \]

   Solution : \( x = -3 \).

2. Équation : \( x - 2 = -7 \)

   \[ x - 2 = -7 \quad \Rightarrow \quad x = -7 + 2 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \]

   Solution : \( x = -5 \).

3. Équation : \( -5x = -2 \)

   \[ -5x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-2}{-5} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{5} \]

   Solution : \( x = \frac{2}{5} \).

4. Équation : \( \frac{x}{3} = -4 \)

   \[ \frac{x}{3} = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -4 \times 3 \quad \Rightarrow \quad x = -12 \]

   Solution : \( x = -12 \).

⚠️ Remarques importantes

• Vérifiez toujours votre solution en la substituant dans l'équation originale.
• Multiplication/division par un nombre négatif : inversez le signe de l'inégalité si vous travaillez avec des inéquations.

Équations produit nul

1. Propriété fondamentale

Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul :

\[ (ax + b)(cx + d) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad ax + b = 0 \quad \text{ou} \quad cx + d = 0 \]

2. Exemple de résolution

Équation : \( (x + 3)(x - 7) = 0 \)

\[ \begin{align*} x + 3 = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = -3 \\ x - 7 = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = 7 \end{align*} \]

Solutions : \( x = -3 \) et \( x = 7 \).

Équations produit nul et inéquations du premier degré

Inéquations du premier degré

1. Définition

Une inéquation à une inconnue \( x \) est une inégalité entre deux expressions algébriques. Ses solutions sont les valeurs de \( x \) qui vérifient cette inégalité.

2. Méthode de résolution

1. Exemple 1 : \( 3x + 1 \geq x - 7 \)

   \[ \begin{align*} 3x - x &\geq -7 - 1 \\ 2x &\geq -8 \\ x &\geq \frac{-8}{2} \\ x &\geq -4 \end{align*} \]

   Solutions : Tous les nombres \( \geq -4 \). Représentation : \( \boxed{[-4, +\infty[} \).

2. Exemple 2 : \( -2x + 1 > 9 \)

   \[ \begin{align*} -2x &> 9 - 1 \\ -2x &> 8 \\ x &< \frac{8}{-2} \quad \text{(inversion de l'inégalité)} \\ x &< -4 \end{align*} \]

   Solutions : Tous les nombres \( < -4 \). Représentation : \( \boxed{]-\infty, -4[} \).

⚠️ Règles essentielles

• Inverser le sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie/divise par un nombre négatif.
• Représenter les solutions sur une droite graduée pour visualiser l'ensemble.

Méthode pour résoudre un problème par mise en équation

Méthodologie en 5 étapes

1. Choix de l'inconnue
   Identifier clairement la variable à déterminer.
2. Mise en équation/inéquation
   Traduire les contraintes du problème en langage mathématique.
3. Résolution de l'équation
   Appliquer les techniques algébriques pour isoler l'inconnue.
4. Interprétation du résultat
   Contextualiser la solution mathématique dans le problème réel.
5. Vérification
   Confirmer que la solution satisfait toutes les conditions initiales.

Exemple pratique : Nombres consécutifs

Énoncé du problème

Trouver deux nombres entiers naturels consécutifs dont la somme est 2021.

1. Choix de l'inconnue

\[ \begin{cases} x = \text{premier nombre entier naturel} \\ x + 1 = \text{deuxième nombre entier naturel} \end{cases} \]

2. Mise en équation

\[ x + (x + 1) = 2021 \]

3. Résolution

\[ \begin{align*} x + x + 1 &= 2021 \\ 2x + 1 &= 2021 \\ 2x &= 2020 \\ x &= 1010 \end{align*} \]

4. Interprétation

\[ \text{Les nombres sont } \begin{cases} 1010 \\ 1011 \quad (1010 + 1) \end{cases} \]

5. Vérification

\[ 1010 + 1011 = 2021 \quad \checkmark \]

⚠️ Bonnes pratiques

• Toujours vérifier que la solution appartient à l'ensemble de définition (ici, entiers naturels)
• Utiliser des notations cohérentes tout au long du raisonnement

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