Exercice 01 : Résolution d'équations
Énoncé
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les équations suivantes :
- \( 5x - 4 = 2x - 3 \)
- \( 3(2x + 5) = 6 - x \)
- \( 4x^2 - 25 = -9 \)
- \( (5x - 1)^2 = (x + 4) \)
- \( 7 - 2x = 4x - 3 \)
- \( 6x - 1 = 2x - 5 \)
- \( -x + 3 = 2 - x \)
- \( -2(x - 3) = 2 \)
- \( 2x - 6 = -x + 3 \)
- \( 5 - x = 2 - x \)
- \( 3x + 3 = 2x - 1 \)
- \( |x - 2| = 3 \)
- \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
- \( 2x + 1 = 3 - 2x \)
- \( x^2 + 2 = 0 \)
Indication
- Pour chaque équation, isolez \( x \) d'un côté.
- Pour les équations avec des valeurs absolues, considérez les deux cas.
Corrigée
- \( x = \frac{1}{3} \)
- \( x = \frac{1}{3} \)
- \( x = 4 \) ou \( x = -4 \)
- \( x = 5 \) ou \( x = -3 \)
- \( x = 1 \)
- \( x = \frac{2}{3} \)
- \( x = 1 \) ou \( x = 5 \)
- \( x = 1 \) ou \( x = 5 \)
- \( x = 3 \) ou \( x = -3 \)
- \( x = 3 \)
- \( x = -1 \) ou \( x = 2 \)
- \( x = 5 \) ou \( x = -1 \)
- \( x = 3 \) ou \( x = -2 \)
- \( x = 2 \)
- Aucune solution.
Exercice 02 : Résolution d'inéquations
Énoncé
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les inéquations suivantes :
- \( 3(x - 1) \leq 2x + 5 \)
- \( 3x - 1 \leq \frac{1}{2}(x + 2) \)
- \( 3x + 5 \geq 1 \)
- \( 2x - 3 \leq 2x - 2 \)
- \( 2(x - 3) \geq 4 \)
- \( 4x - 2 \geq 0 \)
- \( (2x + 1)(x - 3) < 0 \)
- \( 2x - 6 \leq 0 \)
- \( |2x - 1| < 3 \)
- \( \sqrt{x} \leq 2 - x \)
- \( x^2 - 5x - 6 \leq 0 \)
- \( \sqrt{5 - x} \geq 2 - x \)
Indication
- Pour chaque inéquation, isolez \( x \) d'un côté.
- Pour les inéquations avec valeurs absolues, considérez les deux cas.
- Pour les inéquations avec des racines carrées, assurez-vous que l'expression sous la racine est positive.
Corrigée
- \( x \geq 8 \)
- \( x \leq 3 \)
- \( x \geq -\frac{4}{3} \)
- Pas de solution (incohérent)
- \( x \geq 7 \)
- \( x \geq \frac{1}{2} \)
- \( 1 < x < 3 \)
- \( x \leq 3 \)
- \( -1 < x < 2 \)
- \( -3 \leq x \leq 5 \)
- \( x \in [1, 5) \)
- \( x \leq 1 \) ou \( x \geq 9 \)
Exercice 03 : Résolution d'équations et discussion
Énoncé
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les équations suivantes et discuter suivant le paramètre \( m \) :
- \( (m - 1)x + m = 5 \)
- \( (m + 3)x + 4m = -(7 - 3m)x + 5m - 5 \)
- \( x - m = m \)
Indication
- Pour la première équation, isolez \( x \) et discutez des valeurs possibles de \( m \).
- Pour la deuxième équation, réorganisez les termes et simplifiez.
- Pour la troisième équation, exprimez \( x \) en fonction de \( m \).
Corrigée
- Pour \( (m - 1)x + m = 5 \), si \( m - 1 \neq 0 \): \[ x = \frac{5 - m}{m - 1}. \] Si \( m - 1 = 0 \) (c'est-à-dire \( m = 1 \)), alors \( 0 = 4 \) (incohérent).
- Pour \( (m + 3)x + 4m = -(7 - 3m)x + 5m - 5 \), regroupez les termes : \[ (m + 3 + 7 - 3m)x = 5m - 5 - 4m \Rightarrow (10 - 2m)x = m - 5. \] Discutez selon les valeurs de \( m \): - Si \( m = 5 \), alors aucune solution. - Si \( m \neq 5 \), \[ x = \frac{m - 5}{10 - 2m}. \]
- Pour \( x - m = m \): \[ x = 2m. \]
Exercice 04 : Résolution d'équations
Énoncé
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les équations suivantes :
- \( x^2 + 6x + 5 = 0 \)
- \( x^2 + 7x + 12 = 0 \)
- \( x^2 - 12x - 63 = 0 \)
- \( 2x^2 - 8x - 10 = 0 \)
- \( x^3 - 6x + 9 = 0 \)
- \( x^2 + 2x + 3 = 0 \)
- \( 4x^2 - 2\sqrt{5 + \sqrt{6}}x + \sqrt{30} = 0 \)
- \( x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})x + \sqrt{6} = 0 \)
- \( \sqrt{2x} - 1 = x - 2 \)
- \( \sqrt{x^2 + 27} = 2\sqrt{3}x \)
Indication
- Pour les équations du premier degré, isolez la variable et résolvez.
- Pour les équations du second degré, utilisez la formule du discriminant.
- Pour les équations de degré supérieur, utilisez des méthodes adaptées (factorisation, changement de variable, etc.).
Corrigée
- \( x^2 + 6x + 5 = 0 \) \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{-6 \pm 4}{2} = -2, -5 \]
- \( x^2 + 7x + 12 = 0 \) \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{-7 \pm 1}{2} = -3, -4 \]
- \( x^2 - 12x - 63 = 0 \) \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 252}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{396}}{2} = 9, -7 \]
- \( 2x^2 - 8x - 10 = 0 \) \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{4} = 5, -1 \]
- \( x^3 - 6x + 9 = 0 \) \[ x = 3, -1.5 \pm 1.5i \]
- \( x^2 + 2x + 3 = 0 \) \[ x = -1 \pm \sqrt{1 - 3} = -1 \pm i\sqrt{2} \]
- \( 4x^2 - 2\sqrt{5 + \sqrt{6}}x + \sqrt{30} = 0 \) \[ x = \frac{\sqrt{5 + \sqrt{6}} \pm \sqrt{(2\sqrt{5 + \sqrt{6}})^2 - 4\sqrt{30}}}{2\cdot 2} = \frac{\sqrt{5 + \sqrt{6}} \pm \sqrt{20 + 4\sqrt{6}}}{4} \]
- \( x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})x + \sqrt{6} = 0 \) \[ x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 4\sqrt{6}}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} \pm \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}{2} \]
- \( \sqrt{2x} - 1 = x - 2 \) \[ x = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} \]
- \( \sqrt{x^2 + 27} = 2\sqrt{3}x \) \[ x = \pm \sqrt{2\sqrt{3}x - 27} \]
Exercice 05 : Résolution d'inéquations
Énoncé
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les inéquations suivantes :
- \( x^3 - 5x + 6 \geq 0 \)
- \( (2x - 3)(x^2 + x - 2) \leq 0 \)
- \( \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 2} \leq 0 \)
- \( \frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 - 10x + 25} \geq 0 \)
- \( \frac{x^3 + x + 1}{x - 1} \geq 2x + 3 \)
- \( \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 5x + 6} \leq 1 \)
- \( \frac{x^3 - 8}{x^2 - 5x} \leq 0 \)
- \( \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} \geq 2x + 3 \)
Indication
- Factoriser les expressions si possible.
- Résoudre les inéquations en étudiant les variations des fonctions.
- Tenir compte des domaines de définition des fonctions.
Corrigée
- \( x^3 - 5x + 6 \geq 0 \) \[ x \in \left[-1, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, +\infty\right) \]
- \( (2x - 3)(x^2 + x - 2) \leq 0 \) \[ x \in \left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, +\infty\right) \]
- \( \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 2} \leq 0 \) \[ x \in \left(-\infty, 2\right) \cup \left(4, +\infty\right) \]
- \( \frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 - 10x + 25} \geq 0 \) \[ x \in \left(-\infty, 5\right] \cup \left[7, +\infty\right) \]
- \( \frac{x^3 + x + 1}{x - 1} \geq 2x + 3 \) \[ x \in \left(-\infty, 1\right) \cup \left[2, +\infty\right) \]
- \( \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 5x + 6} \leq 1 \) \[ x \in \left(-\infty, 3\right] \cup \left[4, +\infty\right) \]
- \( \frac{x^3 - 8}{x^2 - 5x} \leq 0 \) \[ x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left[5, +\infty\right) \]
- \( \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} \geq 2x + 3 \) \[ x \in \left(-\infty, 1\right) \cup \left[2, +\infty\right) \]
Exercice 06 : Résolution d'équations
Énoncé
- Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation suivante : \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \).
-
En déduire les solutions des équations suivantes :
\[ a - 2x - \sqrt{x - 2} = 0, \quad c - 2x^4 - 3x^3 - 2 = 0, \\ b - 2x^2 - 3|x - 2| = 0, \quad d - 2x^3 - 3x^2 = 2x. \]
-
a) Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les deux équations suivantes : \( x^2 + x
- 6 = 0 \) et \( x^2 - x - 2 = 0 \).
b) En déduire les solutions de l'équation \( (E) : x^2 - |x - 2| - 4 = 0 \).
Indication
- Résoudre l'équation du 2nd degré \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \) en utilisant la méthode classique.
- Utiliser les solutions obtenues pour résoudre les autres équations.
- Résoudre les deux équations du 2nd degré données et en déduire les solutions de l'équation \( (E) \).
Corrigée
- Résolvons l'équation \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \) : \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} = 2 \text{ ou } -1. \] Donc, les solutions sont \( x = 2 \) et \( x = -1 \).
- En utilisant ces solutions, on obtient : \begin{align*} a &: -2\cdot 2 - \sqrt{2 - 2} = 0 \rightarrow x = 2, \\ c &: -2(2)^4 - 3(2)^3 - 2 = 0 \rightarrow x = 2, \\ b &: -2(-1)^2 - 3|-1 - 2| = 0 \rightarrow x = -1, \\ d &: -2(-1)^3 - 3(-1)^2 = 2(-1) \rightarrow x = -1. \end{align*}
- a) Résolvons les deux équations du 2nd degré : \begin{align*} x^2 + x - 6 &= 0 \rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} = 2 \text{ ou } -3, \\ x^2 - x - 2 &= 0 \rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} = 2 \text{ ou } -1. \end{align*} b) L'équation \( (E) : x^2 - |x - 2| - 4 = 0 \) admet donc comme solutions \( x = 2, -1, -3 \).
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