Formes Hermitiennes et Endomorphismes

Formes Hermitiennes

Définition

Une forme hermitienne est une forme bilinéaire complexe qui satisfait les propriétés suivantes :

• Symétrie Hermitienne : \( h(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \overline{h(\mathbf{v}, \mathbf{u})} \), où \( \overline{z} \) désigne le conjugué complexe de \( z \).
• Linéarité : La forme est linéaire par rapport à son premier argument.
• Sesquilinéarité : La forme est antilinéaire par rapport au second argument.

Exemple

Soit \( V = \mathbb{C}^n \), une forme hermitienne peut être définie par :

\[ h(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n u_i \overline{v_i} \]

Note

Les formes hermitiennes généralisent les formes bilinéaires symétriques dans le cas réel.

Produit Scalaire Hermitien

Définition

Le produit scalaire hermitien sur un espace vectoriel complexe \( V \) est une fonction \( \langle \cdot , \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{C} \) telle que :

• \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}\) (symétrie conjuguée).
• \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \geq 0\) (définitive positive).
• \( \langle a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + b\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \) (linéarité par rapport au premier argument).

Exemple

Sur \( V = \mathbb{C}^n \), le produit scalaire hermitien standard est donné par :

\[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \sum_{i=1}^n u_i \overline{v_i} \]

Note

Ce produit scalaire est une généralisation du produit scalaire usuel sur \( \mathbb{R}^n \).

Propriété

Si \( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 \), alors \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) sont orthogonaux.

Orthogonalité

Définition

Deux vecteurs \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) dans un espace hermitien sont dits orthogonaux si leur produit scalaire hermitien est nul :

\[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 \]

Exemple

Considérons \( \mathbb{C}^2 \) avec les vecteurs \( \mathbf{u} = (1, i) \) et \( \mathbf{v} = (1, -i) \). On a :

\[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 1 \cdot 1 + i \cdot (-i) = 1 + 1 = 0 \]

Ainsi, \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) sont orthogonaux.

Propriété

Si \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) sont orthogonaux, alors toute combinaison linéaire \( \mathbf{w} = a\mathbf{u} + b\mathbf{v} \) reste orthogonale à un vecteur \( \mathbf{z} \) orthogonal à \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \).

Applications

L'orthogonalité est utilisée pour construire des bases orthonormées, notamment dans le processus de Gram-Schmidt.

Adjoints

Définition

Dans un espace hermitien, l'adjoint d'un endomorphisme \( A : V \to V \) est une application \( A^* \) telle que :

\[ \langle A\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, A^*\mathbf{v} \rangle, \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \]

Exemple

Si \( A \) est représenté par une matrice \( M \), alors l'adjoint \( A^* \) est représenté par la matrice transposée conjuguée \( M^H \). Par exemple, pour :

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 2 \end{pmatrix}, \quad M^H = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 2 \end{pmatrix} \]

Propriété

Les endomorphismes auto-adjoints (\( A = A^* \)) ont des valeurs propres réelles et leurs vecteurs propres forment une base orthonormée.

Applications

L'adjoint est central en analyse fonctionnelle, en particulier pour l'étude des opérateurs dans les espaces de Hilbert.

Endomorphismes

Endomorphismes Auto-Adjoints

Définition

Un endomorphisme \( A : V \to V \) est dit auto-adjoint si \( A = A^* \), où \( A^* \) est l'adjoint de \( A \). Cela signifie que :

\[ \langle A\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, A\mathbf{v} \rangle, \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \]

Propriétés

• Les valeurs propres d'un endomorphisme auto-adjoint sont réelles.
• Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Exemple

Soit \( A \) une matrice symétrique réelle :

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

On a \( A = A^T \), donc \( A \) est auto-adjoint.

Applications

Les endomorphismes auto-adjoints apparaissent dans les systèmes physiques où les opérateurs ont des observables réelles, comme en mécanique quantique.

Endomorphismes Unitaires

Définition

Un endomorphisme \( U : V \to V \) est dit unitaire si :

\[ U^*U = UU^* = I \]

où \( U^* \) est l'adjoint de \( U \) et \( I \) est l'endomorphisme identité.

Propriétés

• Un endomorphisme unitaire conserve la norme des vecteurs : \( \| U\mathbf{v} \| = \| \mathbf{v} \| \).
• Les valeurs propres d'un endomorphisme unitaire sont de module 1.

Exemple

La matrice suivante représente un endomorphisme unitaire sur \( \mathbb{C}^2 \) :

\[ U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

On vérifie que \( U^*U = UU^* = I \), donc \( U \) est unitaire.

Applications

Les endomorphismes unitaires sont utilisés en cryptographie et en télécommunications, notamment dans la transformation de Fourier.

Endomorphismes Normaux

Définition

Un endomorphisme \( A : V \to V \) est dit normal si :

\[ A^*A = AA^* \]

où \( A^* \) désigne l'adjoint de \( A \).

Propriétés

• Les endomorphismes normaux sont diagonalisables dans une base orthonormée.
• Toute matrice normale est unitaire, hermitienne, ou une combinaison des deux.
• Les valeurs propres d'un endomorphisme normal sont orthogonales et les vecteurs propres associés forment une base orthonormée.

Exemple

Une matrice diagonale complexe est normale, car :

\[ A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}, \quad A^*A = AA^* \]

Diagonalisation

Définition

Un endomorphisme \( A \) est diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres de \( V \) telle que la matrice de \( A \) dans cette base est diagonale.

Conditions de Diagonalisation

• Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base.
• Les multiplicités algébriques des valeurs propres doivent être égales à leurs multiplicités géométriques.

Étapes de la Diagonalisation

1. Trouver le polynôme caractéristique \( \chi_A(\lambda) \) de la matrice \( A \).
2. Déterminer les valeurs propres \( \lambda_1, \lambda_2, \dots \).
3. Calculer les sous-espaces propres associés à chaque valeur propre.
4. Construire une base formée de vecteurs propres et former la matrice de passage.

Exemple

Soit la matrice suivante :

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]

Elle est diagonalisable, car \( A \) est déjà diagonale.