Exercice 1 : Domaine de définition des fonctions
Énoncé
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
- \( f(x) = 3x^2 - \sqrt{x + 1} \)
- \( f(x) = \frac{1}{x^2 - \sqrt{x^2 - 4}} \)
- \( f(x) = \frac{2x - 3}{x} \)
- \( f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} \)
- \( f(x) = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} \)
- \( f(x) = \frac{2}{x - 2} \)
- \( f(x) = \frac{\sqrt{2x - 3}}{\tan x} \)
- \( f(x) = \tan x \)
- \( f(x) = \sin x \)
- \( f(x) = \cos x \)
Indication
- Identifiez les contraintes sur \( x \) en fonction du type d'expression (fraction, racine carrée, fonction trigonométrique).
- Pour les fractions, déterminez les valeurs interdites pour le dénominateur.
- Pour les racines carrées, assurez-vous que l'expression sous la racine est positive ou nulle.
- Pour les fonctions trigonométriques, identifiez les valeurs interdites (exemple : les pôles de la tangente).
Corrigée
-
\( f(x) = 3x^2 - \sqrt{x + 1} \)
Le domaine est \( x \geq -1 \) car \( x+1 \geq 0 \).
-
\( f(x) = \frac{1}{x^2 - \sqrt{x^2 - 4}} \)
On trouve les valeurs interdites en annulant le dénominateur.
-
\( f(x) = \frac{2x - 3}{x} \)
\( x \neq 0 \) car division par zéro interdite.
-
\( f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} \)
\( x \neq 2 \).
-
\( f(x) = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} \)
On impose \( 2x^2 - 3x + 1 \geq 0 \).
-
\( f(x) = \frac{2}{x - 2} \)
\( x \neq 2 \).
-
\( f(x) = \frac{\sqrt{2x - 3}}{\tan x} \)
Deux contraintes : \( 2x - 3 \geq 0 \) et \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \).
-
\( f(x) = \tan x \)
\( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \).
-
\( f(x) = \sin x \)
Domaine : \( \mathbb{R} \).
-
\( f(x) = \cos x \)
Domaine : \( \mathbb{R} \).
Exercice 02 : Étude de l'égalité de fonctions
Énoncé
Étudier l’égalité des fonctions suivantes :
- \[ f(x) = x + 3 \quad ; \quad g(x) = x \left( 1 + \frac{3}{x} \right) \]
- \[ f(x) = |x| \sqrt{x+1} \quad ; \quad g(x) = \sqrt{x^3 + x^2} \]
Indication
- Simplifier \( g(x) \) et comparer les domaines de définition.
- Factoriser l’expression sous la racine de \( g(x) \) et simplifier.
Corrigée
-
Pour \( f(x) = x + 3 \) et \( g(x) = x \left( 1 + \frac{3}{x} \right) \) :
Simplifions \( g(x) \):
\[ g(x) = x + 3 \quad \text{pour} \quad x \neq 0. \]Cependant, \( f(x) \) est définie sur \( \mathbb{R} \), alors que \( g(x) \) n’est pas définie en \( x = 0 \). Les domaines diffèrent, donc \( f \) et \( g \) ne sont pas égales.
-
Pour \( f(x) = |x| \sqrt{x+1} \) et \( g(x) = \sqrt{x^3 + x^2} \) :
Factorisons \( g(x) \):
\[ g(x) = \sqrt{x^2(x + 1)} = |x| \sqrt{x + 1} \quad \text{pour} \quad x + 1 \geq 0. \]Les deux fonctions ont le même domaine \( x \geq -1 \) et la même expression. Elles sont donc égales.
Exercice 03 : Étude de la parité de fonctions
Énoncé
Étudier la parité des fonctions suivantes :
- \[ f(x) = 3x^2 - x^4 - 1 \]
- \[ g(x) = \frac{3}{x} - \sqrt{2} \]
- \[ h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
- \[ t(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
Indication
- Vérifier si \( f(-x) = f(x) \) (fonction paire) ou \( f(-x) = -f(x) \) (fonction impaire).
- Attention aux termes constants et aux symétries.
Corrigée
-
Pour \( f(x) = 3x^2 - x^4 - 1 \) :
\[ f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^4 - 1 = 3x^2 - x^4 - 1 = f(x). \]\( f \) est paire.
-
Pour \( g(x) = \frac{3}{x} - \sqrt{2} \) :
\[ g(-x) = \frac{3}{-x} - \sqrt{2} = -\frac{3}{x} - \sqrt{2}. \]Ni égal à \( g(x) \) ni à \( -g(x) \). \( g \) n’est ni paire ni impaire.
-
Pour \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \) :
\[ h(-x) = \frac{1}{\sqrt{(-x)^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} = h(x). \]\( h \) est paire.
-
Pour \( t(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \) :
\[ t(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - 1}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = -t(x). \]\( t \) est impaire.
Exercice 04 : Étude de fonction
Énoncé
Soit une fonction définie par :
\[ f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} \]
- Déterminer \( D_f \).
- Étudier la parité de la fonction.
-
a. Calculer le taux de variation.
b. Étudier la monotonie de \( f \) sur les intervalles \( [0;1[ \) et \( [1; +\infty[ \).
- Déduire la monotonie de \( f \) sur les intervalles \( [-1;0[ \) et \( [-\infty; -1[ \).
- Donner le tableau de variations.
- Donner les extremums de la fonction \( f \).
Indication
- Identifiez les points de discontinuité pour déterminer \( D_f \).
- Vérifiez si \( f(-x) = f(x) \) ou \( f(-x) = -f(x) \) pour l'étude de la parité.
- Utilisez la dérivée pour étudier la monotonie.
Corrigée
- Pour déterminer \( D_f \) : \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
- \( f \) est une fonction impaire car \( f(-x) = -f(x) \).
-
a. Calculons la dérivée : \( f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 - 1)^2} \).
b. Analysons le signe de \( f'(x) \) pour déterminer la monotonie sur chaque intervalle.
- La monotonie de \( f \) sur les autres intervalles se déduit de la symétrie impaire.
- Le tableau de variations est déterminé par les signes de \( f'(x) \).
- Les extremums de \( f \) sont à déterminer sur chaque intervalle.
Exercice 05 : Étude de fonction
Énoncé
Soit une fonction définie par :
\[ f(x) = -3x^2 \]
- Donner le tableau de variations de \( f \).
- Donner les éléments distinctifs de la courbe représentative de \( f \).
- Tracer \( C_f \) dans un repère.
Indication
- Utilisez la dérivée pour étudier la monotonie et créer le tableau de variations.
- Identifiez les points d'intersection avec les axes, les extremums et les asymptotes éventuelles.
- Utilisez les informations obtenues pour tracer la courbe représentative.
Corrigée
- Le tableau de variations de \( f \) se présente comme suit :
- Les éléments distinctifs de la courbe sont :
Intersection avec l'axe des ordonnées au point \( (0, 0) \).
Maximum local en \( x = 0 \) avec \( f(0) = 0 \).
Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
- Pour tracer \( C_f \), représentez une parabole tournée vers le bas avec son sommet en \( (0,0) \).
Pour \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) \) est décroissante sur \(\mathbb{R}^-\) et \(\mathbb{R}^+\).
Exercice 06 : Étude de fonction
Énoncé
Soit une fonction définie par :
\[ f(x) = -\frac{2}{x} \]
- Donner le tableau de variations de \( f \).
- Donner les éléments distinctifs de la courbe représentative de \( f \).
- Tracer \( C_f \) dans un repère.
Indication
- Utilisez la dérivée pour étudier la monotonie et créer le tableau de variations.
- Identifiez les points d'intersection avec les axes, les extremums et les asymptotes éventuelles.
- Utilisez les informations obtenues pour tracer la courbe représentative.
Corrigée
- Le tableau de variations de \( f \) se présente comme suit :
- Les éléments distinctifs de la courbe sont :
Intersection avec l'axe des ordonnées au point \( (0, 0) \).
Asymptotes horizontale en \( y = 0 \) et verticale en \( x = 0 \).
- Pour tracer \( C_f \), représentez une hyperbole ayant ses branches dans les quadrants II et IV.
Pour \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \), \( f(x) \) est décroissante sur \( \mathbb{R}^- \) et croissante sur \( \mathbb{R}^+ \).
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