Ordre et Opérations 3ème Année College | Exercices Corrigés
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Exercice 1 : Comparaison de deux expressions

Énoncé

Soit \( n \) un entier naturel non nul. Comparer \( a \) et \( b \).

  • \( a = \frac{1}{n} \) et \( b = \frac{2}{n+1} \)
  • \( a = \frac{n}{n+1} \) et \( b = \frac{n+1}{n+2} \)
  • \( a = \frac{n}{\sqrt{n+1}} \) et \( b = \sqrt{n+1} \)

Indication

  1. Exprimez \( a \) et \( b \) sous une même base pour chaque cas.
  2. Étudiez le signe de la différence \( a - b \).
  3. Analysez le comportement des expressions lorsque \( n \) augmente.

Corrigé

  1. Pour \( a = \frac{1}{n} \) et \( b = \frac{2}{n+1} \), on compare leurs inverses pour déterminer lequel est plus grand.
  2. Pour \( a = \frac{n}{n+1} \) et \( b = \frac{n+1}{n+2} \), on remarque que ces fractions sont proches de 1.
  3. Pour \( a = \frac{n}{\sqrt{n+1}} \) et \( b = \sqrt{n+1} \), une simplification montre que \( b \) est toujours supérieur.

Exercice 2 : Vérification d'inégalités

Énoncé

Soient \( x \) et \( y \) deux nombres réels tels que \( x \leq 5 \) et \( y \geq -2 \). Montrer que :

  1. \( 2x - 1 \leq 9 \)
  2. \( 3y + 5 \geq -1 \)
  3. \( 7 - x \geq 2 \)
  4. \( 11 - 2y \leq 15 \)
  5. \( 2x - 4y \leq 18 \)
  6. \( \frac{5x + 2}{9} \leq 3 \)
  7. \( \frac{6y - 2}{7} \geq -2 \)
  8. \( \frac{-5x + y}{6} \leq \frac{-9}{2} \)

Indication

  • Remplacez \( x \) et \( y \) par leurs valeurs maximales ou minimales autorisées.
  • Manipulez les inégalités en appliquant les opérations arithmétiques appropriées.
  • Vérifiez que les résultats restent cohérents avec les bornes données.

Corrigé

  1. Remplaçons \( x \leq 5 \) dans \( 2x - 1 \leq 9 \), on obtient \( 2(5) - 1 = 9 \), donc l'inégalité est vérifiée.
  2. Remplaçons \( y \geq -2 \) dans \( 3y + 5 \geq -1 \), on obtient \( 3(-2) + 5 = -1 \), donc vérifié.
  3. Avec \( x \leq 5 \), \( 7 - x \geq 7 - 5 = 2 \), donc vrai.
  4. Avec \( y \geq -2 \), \( 11 - 2(-2) = 11 + 4 = 15 \), donc vrai.
  5. En utilisant \( x = 5 \) et \( y = -2 \), \( 2(5) - 4(-2) = 10 + 8 = 18 \), donc vérifié.
  6. Pour \( \frac{5x + 2}{9} \leq 3 \), on multiplie par 9 et on trouve \( 5x + 2 \leq 27 \), avec \( x \leq 5 \), \( 5(5) + 2 = 27 \), donc vérifié.
  7. Pour \( \frac{6y - 2}{7} \geq -2 \), on multiplie par 7, \( 6y - 2 \geq -14 \), en remplaçant \( y = -2 \), \( 6(-2) - 2 = -12 - 2 = -14 \), donc vrai.
  8. Pour \( \frac{-5x + y}{6} \leq \frac{-9}{2} \), on multiplie par 6, \( -5x + y \leq -27 \), avec \( x = 5 \) et \( y = -2 \), on a \( -5(5) + (-2) = -25 - 2 = -27 \), donc vérifié.

Exercice 3 : Comparaison de nombres

Énoncé

Comparer les nombres \( a \) et \( b \) dans les cas suivants :

  1. \( a = 4\sqrt{2} \) et \( b = 3\sqrt{4} \)
  2. \( a = -2\sqrt{6} \) et \( b = -5\sqrt{2} \)
  3. \( a = 7 + 5\sqrt{4} \) et \( b = 7 + 3\sqrt{6} \)
  4. \( a = 6 + 5\sqrt{3} \) et \( b = 4 + 6\sqrt{2} \)
  5. \( a = \frac{\sqrt{7} - 3}{2\sqrt{2} + \sqrt{5}} \) et \( b = \frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{5}} \)

Indication

  • Exprimez les radicaux sous une forme simplifiée.
  • Effectuez des approximations pour comparer les valeurs numériques.
  • Utilisez des méthodes de rationalisation si nécessaire.

Corrigé

  1. \( b = 3\sqrt{4} = 3 \times 2 = 6 \), \( a = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \), donc \( a < b \).
  2. Approximations : \( -2\sqrt{6} \approx -4.9 \) et \( -5\sqrt{2} \approx -7.07 \), donc \( a > b \).
  3. \( 5\sqrt{4} = 5 \times 2 = 10 \), \( 3\sqrt{6} \approx 3 \times 2.45 = 7.35 \), donc \( a > b \).
  4. Approximations : \( 5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.73 = 8.65 \), \( 6\sqrt{2} \approx 6 \times 1.41 = 8.46 \), donc \( a > b \).
  5. Rationalisation et calculs nécessaires pour comparer.

Exercice 4 : Comparaisons et simplifications

Énoncé

  1. Comparer : \(3\sqrt{2} \text{ et } 4\).
  2. Déduire la comparaison de : \(5-3\sqrt{2} \text{ et } 1\).
  3. Développer : \(4 - 3\sqrt{2}\).
  4. Déduire la simplification de \( \sqrt{34 - 24\sqrt{2}} \).

Indication

  1. Élever les deux nombres au carré pour comparer sans calculatrice.
  2. Utiliser le résultat de la question 1 pour déduire l'inégalité.
  3. Reconnaître une expression à mettre sous forme de carré pour simplifier la racine carrée.

Corrigée

  1. \(3\sqrt{2} \text{ et } 4\)

    On calcule \((3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\) et \(4^2 = 16\). Comme \(18 > 16\), on conclut que \(3\sqrt{2} > 4\).

  2. \(5 - 3\sqrt{2} \text{ et } 1\)

    D'après la question 1, \(3\sqrt{2} > 4\). En soustrayant de 5 : \(5 - 3\sqrt{2} < 5 - 4 = 1\). Donc \(5 - 3\sqrt{2} < 1\).

  3. Développement de \(4 - 3\sqrt{2}\)

    L'expression est déjà simplifiée. Cependant, pour la question suivante, on reconnaît que \((4 - 3\sqrt{2})^2 = 16 - 24\sqrt{2} + 18 = 34 - 24\sqrt{2}\).

  4. Simplification de \( \sqrt{34 - 24\sqrt{2}} \)

    On a \(34 - 24\sqrt{2} = (4 - 3\sqrt{2})^2\). La racine carrée donne donc \(|4 - 3\sqrt{2}|\). Comme \(4 - 3\sqrt{2} \approx -0.24\) (négatif), on simplifie : \(\sqrt{34 - 24\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} - 4\).

Exercice 5 : Calcul et inégalité

Énoncé

Soit \( a = 3 + \sqrt{3} \, \varepsilon t \) et \( b = 2 + \sqrt{10} \).

  1. Calculer \( a^2 - b^2 \).
  2. En déduire que : \( 2 + \sqrt{10} < 3 + \sqrt{5} \).

Indication

  1. Utilisez l'identité remarquable \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
  2. Comparez les expressions en utilisant les propriétés des racines carrées.

Corrigée

  1. Calcul de \( a^2 - b^2 \) :

    Utilisons l'identité remarquable :

    \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

    Calculez \( a - b \) et \( a + b \), puis multipliez-les.

  2. Déduction de l'inégalité :

    Comparez les valeurs de \( 2 + \sqrt{10} \) et \( 3 + \sqrt{5} \) en utilisant les résultats précédents.

Exercice 6 : Ordre croissant

Énoncé

Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :

  • \( 2 + \sqrt{3} \)
  • \( -1 \)
  • \( \sqrt{5} \)
  • \( -\sqrt{5} \)

Indication

  1. Calculez les valeurs approximatives des racines carrées (\(\sqrt{3} \approx 1.732\), \(\sqrt{5} \approx 2.236\)).
  2. Comparez les nombres négatifs et positifs séparément avant de les ordonner ensemble.
  3. N’oubliez pas que \( -\sqrt{5} \) est inférieur à \( -1 \), car \(\sqrt{5} > 2\).

Corrigée

  1. Étapes de comparaison :

    • \( -\sqrt{5} \approx -2.236 \) (le plus petit).
    • \( -1 \) (vient ensuite).
    • \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).
    • \( 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \) (le plus grand).

  2. Ordre croissant final :

    \( -\sqrt{5} < -1 < \sqrt{5} < 2 + \sqrt{3} \).

Exercice 7 : Encadrements de réels

Énoncé

Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels tels que :

  • \( -5 \leq a \leq -3 \)
  • \( 3 \leq b \leq 7 \)
  1. Donner un encadrement de \( a - b \) et \( ab \).
  2. Donner l’encadrement de \( \frac{1}{a + 7} - \frac{1}{b} \).

Indication

  1. Pour \( a - b \) : utilisez les bornes minimales et maximales de \( a \) et \( b \).

    Pour \( ab \) : considérez le signe des nombres et les combinaisons extrêmes.

  2. Déterminez d'abord l'encadrement de \( a + 7 \), puis utilisez les propriétés des inverses.

Corrigée

  1. Encadrement de \( a - b \) :

    Minimum : \( -5 - 7 = -12 \)

    Maximum : \( -3 - 3 = -6 \)

    Donc \( -12 \leq a - b \leq -6 \).

    Encadrement de \( ab \) :

    Minimum : \( -5 \times 7 = -35 \)

    Maximum : \( -3 \times 3 = -9 \)

    Donc \( -35 \leq ab \leq -9 \).

  2. Encadrement de \( \frac{1}{a + 7} - \frac{1}{b} \) :

    \( a + 7 \in [2, 4] \) ⇒ \( \frac{1}{a + 7} \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right] \).

    \( \frac{1}{b} \in \left[\frac{1}{7}, \frac{1}{3}\right] \).

    Soustraction : \( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12} \) et \( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} = \frac{5}{14} \).

    Donc \( -\frac{1}{12} \leq \frac{1}{a + 7} - \frac{1}{b} \leq \frac{5}{14} \).

Exercice 8 : Encadrements et inégalités

Énoncé

  1. Soient \( x \) et \( y \) deux réels tels que :

    • \( 2 \leq x \leq 3 \)
    • \( -4 \leq y \leq -3 \)

    Donner l’encadrement de : \( x + y \), \( x - y \).

  2. Soit \( z \) un nombre réel tel que :

    \[ \frac{1}{2} < -2z + \frac{1}{2} < \frac{5}{2} \]

    Montrer que : \( 0 \leq z \leq 1 \).

Indication

  1. Utilisez les bornes extrêmes de \( x \) et \( y \) pour \( x + y \) et \( x - y \).

  2. Isolez \( z \) en manipulant l’inégalité donnée. Attention à l’inversion des inégalités lors de la division par un nombre négatif.

Corrigée

  1. Encadrement de \( x + y \) :

    Minimum : \( 2 + (-4) = -2 \)

    Maximum : \( 3 + (-3) = 0 \)

    Donc \( -2 \leq x + y \leq 0 \).

    Encadrement de \( x - y \) :

    Minimum : \( 2 - (-3) = 5 \)

    Maximum : \( 3 - (-4) = 7 \)

    Donc \( 5 \leq x - y \leq 7 \).

  2. Démonstration pour \( z \) :

    Partons de l’inégalité :

    \[ \frac{1}{2} < -2z + \frac{1}{2} < \frac{5}{2} \]

    Soustrayons \( \frac{1}{2} \) :

    \[ 0 < -2z < 2 \]

    Divisons par \( -2 \) (en inversant les inégalités) :

    \[ 0 > z > -1 \]

    Cela donne \( -1 < z < 0 \), ce qui contredit l’énoncé. L’inégalité initiale semble comporter une erreur. Si on corrige \( -2z \) en \( 2z \), on obtient \( 0 \leq z \leq 1 \).

Exercice 9 : Encadrements et inégalités

Énoncé

Soient \( x \) et \( y \) deux nombres réels tels que :

  • \( 1 \leq \sqrt{2x + 1} \leq 2 \)
  • \( -2 \leq 4 - 3y \leq 1 \)
  1. Montrer que : \( 0 \leq x \leq \frac{3}{2} \) et \( 1 \leq y \leq 2 \).
  2. Montrer que : \( 0 \leq xy \leq 3 \).
  3. En déduire que : \( 1 \leq 2xy + 1 \leq 7 \).

Indication

  1. Pour \( x \), isolez \( \sqrt{2x + 1} \) et élevez au carré pour trouver l'encadrement de \( x \).

    Pour \( y \), isolez \( y \) dans l'inégalité \( -2 \leq 4 - 3y \leq 1 \).

  2. Utilisez les encadrements de \( x \) et \( y \) pour déterminer les bornes de \( xy \).

  3. Appliquez les résultats de \( xy \) pour encadrer \( 2xy + 1 \).

Corrigée

  1. Encadrement de \( x \) :

    Partons de \( 1 \leq \sqrt{2x + 1} \leq 2 \).

    Élevons au carré : \( 1 \leq 2x + 1 \leq 4 \).

    Soustrayons 1 : \( 0 \leq 2x \leq 3 \).

    Divisons par 2 : \( 0 \leq x \leq \frac{3}{2} \).

    Encadrement de \( y \) :

    Partons de \( -2 \leq 4 - 3y \leq 1 \).

    Soustrayons 4 : \( -6 \leq -3y \leq -3 \).

    Divisons par -3 (en inversant les inégalités) : \( 2 \geq y \geq 1 \).

    Donc \( 1 \leq y \leq 2 \).

  2. Encadrement de \( xy \) :

    Minimum : \( 0 \times 1 = 0 \).

    Maximum : \( \frac{3}{2} \times 2 = 3 \).

    Donc \( 0 \leq xy \leq 3 \).

  3. Encadrement de \( 2xy + 1 \) :

    Minimum : \( 2 \times 0 + 1 = 1 \).

    Maximum : \( 2 \times 3 + 1 = 7 \).

    Donc \( 1 \leq 2xy + 1 \leq 7 \).

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