Exercice 1 : Comparaison de deux expressions
Énoncé
Soit \( n \) un entier naturel non nul. Comparer \( a \) et \( b \).
- \( a = \frac{1}{n} \) et \( b = \frac{2}{n+1} \)
- \( a = \frac{n}{n+1} \) et \( b = \frac{n+1}{n+2} \)
- \( a = \frac{n}{\sqrt{n+1}} \) et \( b = \sqrt{n+1} \)
Indication
- Exprimez \( a \) et \( b \) sous une même base pour chaque cas.
- Étudiez le signe de la différence \( a - b \).
- Analysez le comportement des expressions lorsque \( n \) augmente.
Corrigé
- Pour \( a = \frac{1}{n} \) et \( b = \frac{2}{n+1} \), on compare leurs inverses pour déterminer lequel est plus grand.
- Pour \( a = \frac{n}{n+1} \) et \( b = \frac{n+1}{n+2} \), on remarque que ces fractions sont proches de 1.
- Pour \( a = \frac{n}{\sqrt{n+1}} \) et \( b = \sqrt{n+1} \), une simplification montre que \( b \) est toujours supérieur.
Exercice 2 : Vérification d'inégalités
Énoncé
Soient \( x \) et \( y \) deux nombres réels tels que \( x \leq 5 \) et \( y \geq -2 \). Montrer que :
- \( 2x - 1 \leq 9 \)
- \( 3y + 5 \geq -1 \)
- \( 7 - x \geq 2 \)
- \( 11 - 2y \leq 15 \)
- \( 2x - 4y \leq 18 \)
- \( \frac{5x + 2}{9} \leq 3 \)
- \( \frac{6y - 2}{7} \geq -2 \)
- \( \frac{-5x + y}{6} \leq \frac{-9}{2} \)
Indication
- Remplacez \( x \) et \( y \) par leurs valeurs maximales ou minimales autorisées.
- Manipulez les inégalités en appliquant les opérations arithmétiques appropriées.
- Vérifiez que les résultats restent cohérents avec les bornes données.
Corrigé
- Remplaçons \( x \leq 5 \) dans \( 2x - 1 \leq 9 \), on obtient \( 2(5) - 1 = 9 \), donc l'inégalité est vérifiée.
- Remplaçons \( y \geq -2 \) dans \( 3y + 5 \geq -1 \), on obtient \( 3(-2) + 5 = -1 \), donc vérifié.
- Avec \( x \leq 5 \), \( 7 - x \geq 7 - 5 = 2 \), donc vrai.
- Avec \( y \geq -2 \), \( 11 - 2(-2) = 11 + 4 = 15 \), donc vrai.
- En utilisant \( x = 5 \) et \( y = -2 \), \( 2(5) - 4(-2) = 10 + 8 = 18 \), donc vérifié.
- Pour \( \frac{5x + 2}{9} \leq 3 \), on multiplie par 9 et on trouve \( 5x + 2 \leq 27 \), avec \( x \leq 5 \), \( 5(5) + 2 = 27 \), donc vérifié.
- Pour \( \frac{6y - 2}{7} \geq -2 \), on multiplie par 7, \( 6y - 2 \geq -14 \), en remplaçant \( y = -2 \), \( 6(-2) - 2 = -12 - 2 = -14 \), donc vrai.
- Pour \( \frac{-5x + y}{6} \leq \frac{-9}{2} \), on multiplie par 6, \( -5x + y \leq -27 \), avec \( x = 5 \) et \( y = -2 \), on a \( -5(5) + (-2) = -25 - 2 = -27 \), donc vérifié.
Exercice 3 : Comparaison de nombres
Énoncé
Comparer les nombres \( a \) et \( b \) dans les cas suivants :
- \( a = 4\sqrt{2} \) et \( b = 3\sqrt{4} \)
- \( a = -2\sqrt{6} \) et \( b = -5\sqrt{2} \)
- \( a = 7 + 5\sqrt{4} \) et \( b = 7 + 3\sqrt{6} \)
- \( a = 6 + 5\sqrt{3} \) et \( b = 4 + 6\sqrt{2} \)
- \( a = \frac{\sqrt{7} - 3}{2\sqrt{2} + \sqrt{5}} \) et \( b = \frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{5}} \)
Indication
- Exprimez les radicaux sous une forme simplifiée.
- Effectuez des approximations pour comparer les valeurs numériques.
- Utilisez des méthodes de rationalisation si nécessaire.
Corrigé
- \( b = 3\sqrt{4} = 3 \times 2 = 6 \), \( a = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \), donc \( a < b \).
- Approximations : \( -2\sqrt{6} \approx -4.9 \) et \( -5\sqrt{2} \approx -7.07 \), donc \( a > b \).
- \( 5\sqrt{4} = 5 \times 2 = 10 \), \( 3\sqrt{6} \approx 3 \times 2.45 = 7.35 \), donc \( a > b \).
- Approximations : \( 5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.73 = 8.65 \), \( 6\sqrt{2} \approx 6 \times 1.41 = 8.46 \), donc \( a > b \).
- Rationalisation et calculs nécessaires pour comparer.
Exercice 4 : Comparaisons et simplifications
Énoncé
- Comparer : \(3\sqrt{2} \text{ et } 4\).
- Déduire la comparaison de : \(5-3\sqrt{2} \text{ et } 1\).
- Développer : \(4 - 3\sqrt{2}\).
- Déduire la simplification de \( \sqrt{34 - 24\sqrt{2}} \).
Indication
- Élever les deux nombres au carré pour comparer sans calculatrice.
- Utiliser le résultat de la question 1 pour déduire l'inégalité.
- Reconnaître une expression à mettre sous forme de carré pour simplifier la racine carrée.
Corrigée
-
\(3\sqrt{2} \text{ et } 4\)
On calcule \((3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\) et \(4^2 = 16\). Comme \(18 > 16\), on conclut que \(3\sqrt{2} > 4\).
-
\(5 - 3\sqrt{2} \text{ et } 1\)
D'après la question 1, \(3\sqrt{2} > 4\). En soustrayant de 5 : \(5 - 3\sqrt{2} < 5 - 4 = 1\). Donc \(5 - 3\sqrt{2} < 1\).
-
Développement de \(4 - 3\sqrt{2}\)
L'expression est déjà simplifiée. Cependant, pour la question suivante, on reconnaît que \((4 - 3\sqrt{2})^2 = 16 - 24\sqrt{2} + 18 = 34 - 24\sqrt{2}\).
-
Simplification de \( \sqrt{34 - 24\sqrt{2}} \)
On a \(34 - 24\sqrt{2} = (4 - 3\sqrt{2})^2\). La racine carrée donne donc \(|4 - 3\sqrt{2}|\). Comme \(4 - 3\sqrt{2} \approx -0.24\) (négatif), on simplifie : \(\sqrt{34 - 24\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} - 4\).
Exercice 5 : Calcul et inégalité
Énoncé
Soit \( a = 3 + \sqrt{3} \, \varepsilon t \) et \( b = 2 + \sqrt{10} \).
- Calculer \( a^2 - b^2 \).
- En déduire que : \( 2 + \sqrt{10} < 3 + \sqrt{5} \).
Indication
- Utilisez l'identité remarquable \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
- Comparez les expressions en utilisant les propriétés des racines carrées.
Corrigée
-
Calcul de \( a^2 - b^2 \) :
Utilisons l'identité remarquable :
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
Calculez \( a - b \) et \( a + b \), puis multipliez-les.
-
Déduction de l'inégalité :
Comparez les valeurs de \( 2 + \sqrt{10} \) et \( 3 + \sqrt{5} \) en utilisant les résultats précédents.
Exercice 6 : Ordre croissant
Énoncé
Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :
- \( 2 + \sqrt{3} \)
- \( -1 \)
- \( \sqrt{5} \)
- \( -\sqrt{5} \)
Indication
- Calculez les valeurs approximatives des racines carrées (\(\sqrt{3} \approx 1.732\), \(\sqrt{5} \approx 2.236\)).
- Comparez les nombres négatifs et positifs séparément avant de les ordonner ensemble.
- N’oubliez pas que \( -\sqrt{5} \) est inférieur à \( -1 \), car \(\sqrt{5} > 2\).
Corrigée
-
Étapes de comparaison :
- \( -\sqrt{5} \approx -2.236 \) (le plus petit).
- \( -1 \) (vient ensuite).
- \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).
- \( 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \) (le plus grand).
-
Ordre croissant final :
\( -\sqrt{5} < -1 < \sqrt{5} < 2 + \sqrt{3} \).
Exercice 7 : Encadrements de réels
Énoncé
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels tels que :
- \( -5 \leq a \leq -3 \)
- \( 3 \leq b \leq 7 \)
- Donner un encadrement de \( a - b \) et \( ab \).
- Donner l’encadrement de \( \frac{1}{a + 7} - \frac{1}{b} \).
Indication
-
Pour \( a - b \) : utilisez les bornes minimales et maximales de \( a \) et \( b \).
Pour \( ab \) : considérez le signe des nombres et les combinaisons extrêmes.
-
Déterminez d'abord l'encadrement de \( a + 7 \), puis utilisez les propriétés des inverses.
Corrigée
-
Encadrement de \( a - b \) :
Minimum : \( -5 - 7 = -12 \)
Maximum : \( -3 - 3 = -6 \)
Donc \( -12 \leq a - b \leq -6 \).
Encadrement de \( ab \) :
Minimum : \( -5 \times 7 = -35 \)
Maximum : \( -3 \times 3 = -9 \)
Donc \( -35 \leq ab \leq -9 \).
-
Encadrement de \( \frac{1}{a + 7} - \frac{1}{b} \) :
\( a + 7 \in [2, 4] \) ⇒ \( \frac{1}{a + 7} \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right] \).
\( \frac{1}{b} \in \left[\frac{1}{7}, \frac{1}{3}\right] \).
Soustraction : \( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12} \) et \( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} = \frac{5}{14} \).
Donc \( -\frac{1}{12} \leq \frac{1}{a + 7} - \frac{1}{b} \leq \frac{5}{14} \).
Exercice 8 : Encadrements et inégalités
Énoncé
-
Soient \( x \) et \( y \) deux réels tels que :
- \( 2 \leq x \leq 3 \)
- \( -4 \leq y \leq -3 \)
Donner l’encadrement de : \( x + y \), \( x - y \).
-
Soit \( z \) un nombre réel tel que :
\[ \frac{1}{2} < -2z + \frac{1}{2} < \frac{5}{2} \]
Montrer que : \( 0 \leq z \leq 1 \).
Indication
-
Utilisez les bornes extrêmes de \( x \) et \( y \) pour \( x + y \) et \( x - y \).
-
Isolez \( z \) en manipulant l’inégalité donnée. Attention à l’inversion des inégalités lors de la division par un nombre négatif.
Corrigée
-
Encadrement de \( x + y \) :
Minimum : \( 2 + (-4) = -2 \)
Maximum : \( 3 + (-3) = 0 \)
Donc \( -2 \leq x + y \leq 0 \).
Encadrement de \( x - y \) :
Minimum : \( 2 - (-3) = 5 \)
Maximum : \( 3 - (-4) = 7 \)
Donc \( 5 \leq x - y \leq 7 \).
-
Démonstration pour \( z \) :
Partons de l’inégalité :
\[ \frac{1}{2} < -2z + \frac{1}{2} < \frac{5}{2} \]
Soustrayons \( \frac{1}{2} \) :
\[ 0 < -2z < 2 \]
Divisons par \( -2 \) (en inversant les inégalités) :
\[ 0 > z > -1 \]
Cela donne \( -1 < z < 0 \), ce qui contredit l’énoncé. L’inégalité initiale semble comporter une erreur. Si on corrige \( -2z \) en \( 2z \), on obtient \( 0 \leq z \leq 1 \).
Exercice 9 : Encadrements et inégalités
Énoncé
Soient \( x \) et \( y \) deux nombres réels tels que :
- \( 1 \leq \sqrt{2x + 1} \leq 2 \)
- \( -2 \leq 4 - 3y \leq 1 \)
- Montrer que : \( 0 \leq x \leq \frac{3}{2} \) et \( 1 \leq y \leq 2 \).
- Montrer que : \( 0 \leq xy \leq 3 \).
- En déduire que : \( 1 \leq 2xy + 1 \leq 7 \).
Indication
-
Pour \( x \), isolez \( \sqrt{2x + 1} \) et élevez au carré pour trouver l'encadrement de \( x \).
Pour \( y \), isolez \( y \) dans l'inégalité \( -2 \leq 4 - 3y \leq 1 \).
-
Utilisez les encadrements de \( x \) et \( y \) pour déterminer les bornes de \( xy \).
-
Appliquez les résultats de \( xy \) pour encadrer \( 2xy + 1 \).
Corrigée
-
Encadrement de \( x \) :
Partons de \( 1 \leq \sqrt{2x + 1} \leq 2 \).
Élevons au carré : \( 1 \leq 2x + 1 \leq 4 \).
Soustrayons 1 : \( 0 \leq 2x \leq 3 \).
Divisons par 2 : \( 0 \leq x \leq \frac{3}{2} \).
Encadrement de \( y \) :
Partons de \( -2 \leq 4 - 3y \leq 1 \).
Soustrayons 4 : \( -6 \leq -3y \leq -3 \).
Divisons par -3 (en inversant les inégalités) : \( 2 \geq y \geq 1 \).
Donc \( 1 \leq y \leq 2 \).
-
Encadrement de \( xy \) :
Minimum : \( 0 \times 1 = 0 \).
Maximum : \( \frac{3}{2} \times 2 = 3 \).
Donc \( 0 \leq xy \leq 3 \).
-
Encadrement de \( 2xy + 1 \) :
Minimum : \( 2 \times 0 + 1 = 1 \).
Maximum : \( 2 \times 3 + 1 = 7 \).
Donc \( 1 \leq 2xy + 1 \leq 7 \).
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