Projection Dans le Plan : 7 Exercices Corrigés
Projection Dans le Plan : 7 Exercices Corrigés

Projection Dans le Plan : 7 Exercices Corrigés

Exercice 01 : Alignement de points dans un triangle

Énoncé

Soit \( ABC \) un triangle et soient \( I, J \) et \( K \) les points définis par :

\[ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AJ} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AK} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}. \]

  1. Tracer une figure.
  2. Montrer que :

    \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{JK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AJ} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}. \]

  3. Déduire que les points \( I, J \) et \( K \) sont alignés.

Indication

  1. Exprimez clairement \( \overrightarrow{AI} \) en fonction des vecteurs de base.
  2. Reformulez \( \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{JK} \) pour observer une relation de proportionnalité.

Corrigée

  1. On a :

    \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \]

  2. Calcul de \( \overrightarrow{IJ} \) :

    \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} - \left[\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right]. \]

    \[ \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \]

  3. Calcul de \( \overrightarrow{JK} \) :

    \[ \overrightarrow{JK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AJ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}. \]

  4. On constate alors que \( \overrightarrow{JK} \) est proportionnel à \( \overrightarrow{IJ} \) (après avoir exprimé \( \overrightarrow{BC} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) via la relation \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \)). Ainsi, les vecteurs \( \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{JK} \) sont colinéaires, ce qui implique que les points \( I, J \) et \( K \) sont alignés.

Exercice 02 : Le théorème du milieu

Énoncé

Soit \( ABC \) un triangle et soient \( D \) et \( E \) les milieux respectifs de \( [AB] \) et \( [AC] \).

  1. Tracer le triangle \( ABC \) avec les points \( D \) et \( E \) marqués.
  2. Montrer que :

    \[ \overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \]

  3. En déduire que le segment \( [DE] \) est parallèle à \( [BC] \) et vaut la moitié de sa longueur.

Indication

  1. Exprimez les vecteurs \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{AE} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \).
  2. Utilisez la relation \( \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} \).

Corrigée

  1. Puisque \( D \) et \( E \) sont les milieux de \( [AB] \) et \( [AC] \) respectivement, on a :

    \[ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. \]

  2. Calcul de \( \overrightarrow{DE} \) :

    \[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}). \]

  3. Or, par définition du vecteur \( \overrightarrow{BC} \) :

    \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}. \]

    Ainsi,

    \[ \overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \]

    Ce qui montre que le segment \( [DE] \) est parallèle à \( [BC] \) et a une longueur égale à la moitié de celle de \( [BC] \).

Exercice 03 : Centre de gravité d'un triangle

Énoncé

Soit \( A, B, C \) trois points non alignés et \( G \) le centre de gravité du triangle \( ABC \).

  1. Tracer le triangle \( ABC \) et repérer le centre de gravité \( G \).
  2. Montrer que :

    \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right). \]

  3. Expliquer comment cette relation traduit la notion de moyenne vectorielle.

Indication

  1. Utilisez la définition du centre de gravité : \( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \).
  2. Exprimez les vecteurs \( \overrightarrow{GB} \) et \( \overrightarrow{GC} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \).

Corrigée

  1. Par définition, le centre de gravité \( G \) vérifie :

    \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}. \]

  2. En réécrivant :

    \[ \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG}, \]

    et de même,

    \[ \overrightarrow{GC} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AG}. \]

  3. La somme devient :

    \[ \overrightarrow{GA} + (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG}) + (-\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AG}) = \vec{0}. \]

    Or, \( \overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG} \), donc :

    \[ -\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AG} = \vec{0} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}. \]

    Cependant, cette écriture correspond à la somme des vecteurs, alors que, pour un centre de gravité, la formule exacte est :

    \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right). \]

    Pour préciser, on peut partir de l'expression barycentrique :

    \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\right). \]

    En écrivant \( \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} \) et en exprimant \( \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} \) (de même pour \( \overrightarrow{OC} \)), on trouve finalement :

    \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right). \]

  4. Cette relation montre que le vecteur \( \overrightarrow{AG} \) est la moyenne des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \), reflétant ainsi la position « moyenne » du centre de gravité.

Exercice 04 : Le centre de gravité et la médiane

Énoncé

Soit \( ABC \) un triangle et \( G \) son centre de gravité. La droite passant par \( A \) et \( G \) coupe \( [BC] \) en un point \( D \).

  1. Tracer le triangle \( ABC \) en indiquant le centre de gravité \( G \) et la médiane issue de \( A \).
  2. Montrer que la relation suivante est vérifiée :

    \[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} \quad \text{où } M \text{ est le milieu de } [BC]. \]

  3. En déduire que le point \( D \) d'intersection de \( (AG) \) avec \( (BC) \) coïncide avec \( M \), c'est-à-dire que \( D \) est le milieu de \( [BC] \).

Indication

  1. Utilisez la propriété du centre de gravité qui affirme que, dans un triangle, \( \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} \).
  2. Identifiez le point \( D \) sur \( (BC) \) tel que la relation entre \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{AM} \) s'écrive de la même manière.

Corrigée

  1. Par définition du centre de gravité, on a :

    \[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}, \]

    où \( M \) est le milieu de \( [BC] \).
  2. La droite \( (AG) \) coupe \( (BC) \) en un point \( D \) tel que \( \overrightarrow{AD} \) est colinéaire à \( \overrightarrow{AM} \). Pour que la proportion reste valable, il faut que \( D \) coïncide avec \( M \).
  3. Ainsi, on déduit que :

    \[ D = M, \]

    c'est-à-dire que le point d'intersection de \( (AG) \) avec \( (BC) \) est bien le milieu de \( [BC] \).

Exercice 05 : Réduction de vecteurs et rapport de division

Énoncé

Soit \( ABC \) un triangle et \( D \) un point de \( [BC] \) tel que le rapport de division est \( BD:DC = 2:1 \).

  1. Tracer le triangle \( ABC \) en plaçant le point \( D \) sur \( [BC] \) de manière à respecter le rapport donné.
  2. Exprimer le vecteur \( \overrightarrow{AD} \) en fonction des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \).
  3. Montrer que :

    \[ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. \]

Indication

  1. Utilisez la formule de répartition dans un segment : si \( D \) divise \( [BC] \) dans le rapport \( 2:1 \), alors on a

    \[ \overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}. \]

  2. Exploitez la relation \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \) et exprimez \( \overrightarrow{BC} \) en fonction de \( \overrightarrow{AC} \) et \( \overrightarrow{AB} \) sachant que \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \).

Corrigée

  1. Puisque \( D \) divise \( [BC] \) dans le rapport \( 2:1 \), on a :

    \[ \overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}. \]

  2. En écrivant \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \) et en utilisant la relation \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \), on obtient :

    \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right). \]

  3. Développons et simplifions :

    \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. \]

Exercice 06 : Milieu dans un trapèze

Énoncé

Soit \( ABCD \) un trapèze tel que \( AB \parallel CD \). On note :

  • \( M \) le milieu de \([AD]\),
  • \( N \) le milieu de \([BC]\).
  1. Tracer le trapèze \( ABCD \) en indiquant les points \( M \) et \( N \).
  2. Montrer que le segment \( [MN] \) est parallèle à \( AB \) et \( CD \).
  3. En déduire que :

    \[ MN = \frac{1}{2}\left(AB + CD\right). \]

Indication

  1. Exprimez les vecteurs \( \overrightarrow{AM} \) et \( \overrightarrow{CN} \) en fonction des côtés du trapèze.
  2. Utilisez le théorème du milieu et la propriété des segments joignant les milieux dans un triangle.
  3. Pour établir la formule de la longueur de \( [MN] \), considérez la décomposition vectorielle du segment reliant les milieux.

Corrigée

  1. On place le trapèze \( ABCD \) avec \( AB \parallel CD \). Les points \( M \) et \( N \) sont respectivement les milieux de \( [AD] \) et \( [BC] \).

  2. Considérons les triangles \( ABD \) et \( BCD \). Dans le premier, la droite joignant le milieu \( M \) de \( [AD] \) à \( B \) est parallèle à \( [BD] \). De même, dans le triangle \( BCD \), la droite joignant le milieu \( N \) de \( [BC] \) à \( D \) est parallèle à \( [BD] \). On en déduit que les droites \( (MN) \) et \( (BD) \) sont parallèles.

    Or, dans un trapèze, la diagonale \( BD \) n'est pas nécessairement parallèle aux bases. Une autre approche consiste à exprimer les vecteurs :

    \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\right). \]

    Vu que \( AB \parallel CD \), il s'ensuit, en effectuant quelques développements, que \( (MN) \) est parallèle à \( AB \) et \( CD \).

  3. Pour la longueur, on démontre que le segment reliant les milieux des côtés non parallèles d’un trapèze a pour mesure la moyenne des longueurs des deux bases :

    \[ MN = \frac{1}{2}\left(AB + CD\right). \]

Exercice 07 : Barycentre de points pondérés

Énoncé

Soient \( A, B, C \) trois points non alignés et \( G \) le barycentre des points \( A, B, C \) ayant des poids respectifs \( 2 \), \( 3 \) et \( 5 \).

  1. Tracer le triangle \( ABC \) en indiquant la position du barycentre \( G \).
  2. Exprimer la position de \( G \) en fonction des vecteurs position \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \) et \( \overrightarrow{OC} \) (pour un repère quelconque \( O \)).
  3. Montrer que :

    \[ \overrightarrow{OG} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC}}{10}. \]

Indication

  1. Rappelez-vous que, par définition, le barycentre \( G \) de points \( A, B, C \) de poids \( \lambda, \mu, \nu \) vérifie :

    2. \[ \lambda\overrightarrow{OA} + \mu\overrightarrow{OB} + \nu\overrightarrow{OC} = \left(\lambda + \mu + \nu\right)\overrightarrow{OG}. \]

  2. Identifiez les poids et résolvez l'équation vectorielle pour \( \overrightarrow{OG} \).

Corrigée

  1. Par définition du barycentre, on a :

    \[ 2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC} = \left(2+3+5\right)\overrightarrow{OG} = 10\overrightarrow{OG}. \]

  2. En isolant \( \overrightarrow{OG} \), on obtient :

    \[ \overrightarrow{OG} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC}}{10}. \]

  3. Cette formule exprime la position de \( G \) comme une moyenne pondérée des positions de \( A \), \( B \) et \( C \), reflétant ainsi l'influence relative de chacun des points selon leurs poids respectifs.

Theme CustomizerEdit Theme HTMLStaticsLayoutCommentsPagesPostsSettingsEdit This Post
Labels

Share This Post

Share on xShare on telegramShare on whatsapp
Previous Post Loading title...

Ces posts pourraient vous intéresser

Enregistrer un commentaire

regle de system commentaires:
Chacun doit respecter les commentaires et les opinions des autres.
Évitez d'utiliser des mots offensants ou de diffamer les autres.

Aucun commentaire

416167574146061894

Bookmarks

La liste des signets est vide... Ajoutez vos signets maintenant

    Rechercher