Coordonnées d'un point dans un repère du plan
Repère du plan
1. Définition
Un repère du plan est constitué de :
- Deux axes gradués et sécants (OI) et (OJ)
- O : origine du repère (O, I, J)
- (OI) : axe des abscisses
- (OJ) : axe des ordonnées
2. Types de repères
Un repère est dit :
- Orthogonal si \( (OI) \perp (OJ) \)
- Orthonormé si \( (OI) \perp (OJ) \) et \( OI = OJ \)
Coordonnées d'un point
1. Définition
Dans un repère orthonormé (O, I, J), tout point M du plan admet un unique couple de coordonnées :
\[ M(x_M, y_M) \]
- \( x_M \) : abscisse du point
- \( y_M \) : ordonnée du point
2. Exemples de placement
Placer dans un repère orthonormé :
- \( A(2, 4) \)
- \( B(-2, 1) \)
- \( C(-4, -2) \)
- \( D(3, -4) \)
3. Cas particuliers
- Origine : \( O(0, 0) \)
- Point sur l'axe (OI) : \( M(x_M, 0) \)
- Point sur l'axe (OJ) : \( M(0, y_M) \)
Coordonnées du milieu d'un segment
1. Propriété
Pour \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \), le milieu \( M \) de \( [AB] \) a pour coordonnées :
\[ M\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \]
2. Exemple de calcul
Données : \( A(2, 3) \) et \( B(-2, 1) \)
\[ \begin{align*} x_M &= \frac{2 + (-2)}{2} = 0 \\ y_M &= \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ \Rightarrow \quad M(0, 2) \end{align*} \]
⚠️ Points de vigilance
- Vérifier toujours l'orthonormalité avant d'appliquer les formules de milieu
- Attention aux signes lors du calcul des coordonnées
Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé
Coordonnées d'un vecteur
1. Définition des coordonnées vectorielles
Dans un repère orthonormé \( (O, I, J) \), pour deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) :
\[ \overrightarrow{AB} \left( x_B - x_A,\ y_B - y_A \right) \]
Exemple pratique
Données : \( A(4, 2) \) et \( B(3, -1) \)
\[ \begin{cases} x_B - x_A = 3 - 4 = -1 \\ y_B - y_A = -1 - 2 = -3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{AB}(-1, -3) \]
2. Égalité de vecteurs
Propriété fondamentale
Deux vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont égaux si :
\[ \begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases} \]
Application : Parallélogramme
Énoncé : Déterminer \( D(0, 5) \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme avec \( A(3,3) \), \( B(1,-4) \), \( C(-2,-2) \).
\[ \begin{cases} 1 - 3 = -2 - x_D \\ -4 - 3 = -2 - y_D \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_D = 0 \\ y_D = 5 \end{cases} \]
3. Opérations sur les vecteurs
Addition et multiplication scalaire
Pour \( \overrightarrow{AB}(x, y) \) et \( \overrightarrow{CD}(x', y') \), et un réel \( k \) :
- Addition : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (x + x',\ y + y') \)
- Multiplication : \( k \cdot \overrightarrow{AB} = (kx,\ ky) \)
Exemples calculatoires
-
Addition : \( \overrightarrow{AB}(2, 3) + \overrightarrow{CD}(-1, 5) \)
\[ (2 + (-1),\ 3 + 5) = (1,\ 8) \]
-
Multiplication : \( \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{AB}(2, 3) \)
\[ \left( \frac{2}{3},\ 1 \right) \]
⚠️ Conseils méthodologiques
- Vérifiez toujours l'ordre des points dans les vecteurs (\( \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA} \))
- Utilisez des schémas pour visualiser les opérations vectorielles
Distance entre deux points dans un repère orthonormé
Distance entre deux points
1. Formule générale
Dans un repère orthonormé \( (O, I, J) \), pour deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \), la distance \( AB \) est donnée par :
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]
2. Exemple de calcul
Données : \( A(3, -2) \) et \( B(5, -1) \)
\[ \begin{align*} AB &= \sqrt{(5 - 3)^2 + (-1 - (-2))^2} \\ &= \sqrt{2^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{4 + 1} \\ &= \sqrt{5} \end{align*} \]
2. Distance à partir d'un vecteur
1. Propriété
Si \( \overrightarrow{AB}(x, y) \) représente le vecteur entre \( A \) et \( B \), alors :
\[ AB = \sqrt{x^2 + y^2} \]
2. Exemple de calcul
Données : \( \overrightarrow{AB}(-3, 5) \)
\[ \begin{align*} AB &= \sqrt{(-3)^2 + 5^2} \\ &= \sqrt{9 + 25} \\ &= \sqrt{34} \end{align*} \]
⚠️ Conseils pratiques
- Vérifiez toujours l'ordre des points dans les calculs de distance
- Utilisez des schémas pour visualiser les points et les vecteurs
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