Théorème de Pythagore 3AC | Exercices Corrigés

Utilisez le théorème de Pythagore : \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} \).

1. Cas 1 : AB = 2 cm et AC = 4 cm
\[ BC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm} \]
2. Cas 2 : AB = \(\sqrt{2}\) cm et AC = 1 cm
\[ BC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \text{ cm} \]
3. Cas 3 : AB = 3 cm et AC = 4 cm
\[ BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]
4. Cas 4 : AB = \(\sqrt{5}+2\) et AC = \(\sqrt{5} \cdot 2\)
\[ BC = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2 + (\sqrt{5} \cdot 2)^2} = \sqrt{5 + 4\sqrt{5} + 4 + 20} = \sqrt{29 + 4\sqrt{5}} \text{ cm} \]

Utilisez le théorème de Pythagore : \( AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} \).

1. Cas 1 : BC = 5 cm et AC = 4 cm
\[ AB = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm} \]
2. Cas 2 : BC = \(\sqrt{10}\) cm et AC = \(\sqrt{6}\) cm
\[ AB = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{10 - 6} = \sqrt{4} = 2 \text{ cm} \]
3. Cas 3 : BC = 9 cm et AC = 5 cm
\[ AB = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \text{ cm} \]

Utilisez la réciproque du théorème de Pythagore : un triangle est rectangle si la somme des carrés de deux côtés est égale au carré du troisième côté.

1. Cas 1 : AB = 1 cm ; AC = 3 cm et BC = \(\sqrt{10}\) cm
\[ AB^2 + AC^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \] \[ BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 \] Puisque \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), le triangle ABC est rectangle en A.
2. Cas 2 : AB = 10 cm ; AC = 6 cm et BC = 8 cm
\[ AB^2 + AC^2 = 10^2 + 6^2 = 100 + 36 = 136 \] \[ BC^2 = 8^2 = 64 \] Puisque \( AB^2 + AC^2 \neq BC^2 \), le triangle ABC n'est pas rectangle.
3. Cas 3 : AB = \(\sqrt{3}\) cm ; AC = \(\sqrt{2}\) cm et BC = \(\sqrt{5}\) cm
\[ AB^2 + AC^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5 \] \[ BC^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \] Puisque \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), le triangle ABC est rectangle en A.
4. Cas 4 : AB = \(\frac{1}{6}\) cm ; AC = \(\frac{1}{8}\) cm et BC = \(\frac{1}{10}\) cm
\[ AB^2 + AC^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{36} + \frac{1}{64} = \frac{16 + 9}{576} = \frac{25}{576} \] \[ BC^2 = \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{1}{100} \] Puisque \( AB^2 + AC^2 \neq BC^2 \), le triangle ABC n'est pas rectangle.

1. Utilisez la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer que le triangle est rectangle en A.
2. Utilisez les propriétés des triangles rectangles et les formules de projection pour calculer AH et CH.

1. Montrer que ABC est un triangle rectangle en A :
\[ AB^2 + AC^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \] \[ BC^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45 \] Puisque \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), le triangle ABC est rectangle en A.
2. Calculer AH et CH :

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit peut être calculée à l'aide de la formule :

\[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 6}{3\sqrt{5}} = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \]

Pour calculer CH, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AHC :

\[ CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{6^2 - \left(\frac{6\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \sqrt{36 - \frac{180}{25}} = \sqrt{36 - 7.2} = \sqrt{28.8} = \frac{6\sqrt{20}}{5} = \frac{12\sqrt{5}}{5} \]

1. Utilisez le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles pour calculer FH et FG.
2. Vérifiez que les côtés du triangle FGH satisfont la réciproque du théorème de Pythagore.

1. Montrer que \( FH = 4\sqrt{5} \) et \( FG = 2\sqrt{5} \) :

Dans le triangle EFH rectangle en E :

\[ FH = \sqrt{EF^2 + EH^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

Dans le triangle FGH, on utilise le théorème de Pythagore :

\[ FG = \sqrt{HG^2 - FH^2} = \sqrt{10^2 - (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 - 80} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
2. En déduire que FGH est un triangle rectangle :

Vérifions la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle FGH :

\[ FH^2 + FG^2 = (4\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 80 + 20 = 100 \] \[ HG^2 = 10^2 = 100 \] Puisque \( FH^2 + FG^2 = HG^2 \), le triangle FGH est rectangle en F.

1. Utilisez le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles pour calculer AI et MI.
2. Appliquez la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle AMI.

1. Calculer AI et MI :

Calcul de AI :
Dans le triangle ATI rectangle en T :

\[ AI = \sqrt{AT^2 + TI^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Calcul de MI :
MATH étant un rectangle, MI se calcule dans le triangle MHI rectangle en H :

\[ MI = \sqrt{MH^2 + HI^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]
2. Montrer que AMI est un triangle rectangle :

Vérifions la réciproque du théorème de Pythagore :

\[ AM^2 = 4^2 = 16 \quad (\text{car } AM = HT = HI + IT = 1 + 3 = 4) \] \[ AI^2 + MI^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 \] Puisque \( AM^2 = AI^2 + MI^2 \), le triangle AMI est rectangle en I.

1. Les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu.
2. Utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les demi-diagonales.
3. Le périmètre d'un losange est égal à \(4 \times \text{côté}\).

1. Figure : Les diagonales AC (20 cm) et BD (48 cm) se croisent en O, formant 4 triangles rectangles.
2. Calcul de AB :
   Les demi-diagonales valent : \[ AO = \frac{AC}{2} = 10\ \text{cm}, \quad BO = \frac{BD}{2} = 24\ \text{cm}. \] Dans le triangle rectangle AOB, d'après Pythagore : \[ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26\ \text{cm}. \]
3. Périmètre du losange :
   \[ 4 \times AB = 4 \times 26 = 104\ \text{cm}. \]

1. Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles formés par la hauteur.
2. Considérer les relations entre les segments et les aires des triangles.
3. Appliquer les propriétés des triangles rectangles et les relations métriques.
4. Manipuler les expressions algébriques pour établir la relation demandée.

1. Démonstration de \( \text{AH}^2 = \text{BC}^2 - \text{AC}^2 - \text{BH}^2 \) :
   En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABH et ACH, on peut établir cette relation.
2. Démonstration de \( \text{BC}^2 = \text{BH}^2 + \text{CH}^2 + 2\text{AH}^2 \) et \( \text{AH}^2 = \text{BH} \times \text{CH} \) :
   Ces relations découlent des propriétés des triangles rectangles et des relations entre les segments.
3. Démonstration de \( \text{AB}^2 = \text{BH} \times \text{CB} \), \( \text{AC}^2 = \text{CH} \times \text{CB} \), et \( \text{AB} \times \text{AC} = \text{AH} \times \text{BC} \) :
   Ces égalités sont des conséquences directes des relations métriques dans un triangle rectangle.
4. Démonstration de \( \frac{1}{\text{AB}^2} + \frac{1}{\text{AC}^2} = \frac{1}{\text{AH}^2} \) :
   En manipulant les expressions précédentes, on peut établir cette relation.

1. Utiliser une règle graduée pour mesurer et tracer des segments de longueurs spécifiques.
2. Pour les fractions, diviser l'unité en parts égales selon le dénominateur.

1. Segment de longueur \(\frac{7}{2}\) :
   \(\frac{7}{2} = 3.5\). Tracer un segment de 3.5 unités de longueur.
2. Segment de longueur \(\frac{3}{4}\) :
   Diviser une unité en 4 parts égales et prendre 3 parts.
3. Segment de longueur \(\frac{5}{4}\) :
   \(\frac{5}{4} = 1.25\). Tracer un segment de 1.25 unités de longueur.
4. Segment de longueur \(\frac{34}{4}\) :
   \(\frac{34}{4} = 8.5\). Tracer un segment de 8.5 unités de longueur.