Triangles isométriques et semblables 3AC

Triangle isométriques

Deux triangles sont congruents si leurs éléments correspondants (côtés et angles) sont égaux.

Théorèmes fondamentaux

• Critère CCC (Côté-Côté-Côté)
  Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors les triangles sont congruents.
  Exemple : Si \( AB = EF \), \( BC = FG \), et \( AC = EG \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).
• Critère CAC (Côté-Angle-Côté)
  Si deux côtés et l'angle compris entre eux sont respectivement égaux, alors les triangles sont congruents.
  Exemple : Si \( AB = EF \), \( \angle BAC = \angle EFG \), et \( AC = FG \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).
• Critère ACA (Angle-Côté-Angle)
  Si deux angles et le côté compris entre eux sont respectivement égaux, alors les triangles sont congruents.
  Exemple : Si \( \angle ABC = \angle EFG \), \( BC = FG \), et \( \angle BCA = \angle FGE \), alors \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \).

Applications pratiques

Cas 1 : Triangles avec trois côtés égaux

Si \( \triangle ABC \) et \( \triangle EFG \) vérifient :
\( AB = EF \), \( BC = FG \), \( CA = GE \), alors ils sont congruents (critère CCC).

Cas 2 : Triangles avec un angle et deux côtés égaux

Si \( \triangle ABC \) et \( \triangle EFG \) vérifient :
\( AB = EF \), \( \angle ABC = \angle EFG \), \( BC = FG \), alors ils sont congruents (critère CAC).

Cas 3 : Triangles avec deux angles et un côté égal

Si \( \triangle ABC \) et \( \triangle EFG \) vérifient :
\( \angle BAC = \angle EFG \), \( \angle ABC = \angle EGF \), \( AB = EF \), alors ils sont congruents (critère ACA).

Pièges à éviter

• Un angle égal sans côtés correspondants égaux ne garantit pas la congruence.
• L'ordre des éléments dans les critères CAC et ACA est crucial (l'angle doit être entre les côtés).

Triangle semblables

Deux triangles sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés sont proportionnels.

Définition

Deux triangles sont semblables si :

• Leurs angles correspondants sont égaux deux à deux.
• Leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Exemple avec \( \triangle ABC \) et \( \triangle EFG \) :
\( \angle A = \angle E \), \( \angle B = \angle F \), \( \angle C = \angle G \),
et \( \frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG} = \frac{AC}{EG} = k \) (où \( k \) est le rapport de similitude).

Propriétés clés

Rapport de similitude

Si \( \triangle ABC \sim \triangle EFG \), alors :
\( \frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG} = \frac{AC}{EG} = k \).
Si \( k > 1 \), \( \triangle ABC \) est un agrandissement de \( \triangle EFG \).
Si \( k < 1 \), c’est une réduction.

Critère AA (Angle-Angle)

Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, les triangles sont semblables.
Exemple : Si \( \angle A = \angle E \) et \( \angle B = \angle F \), alors \( \triangle ABC \sim \triangle EFG \).

Cas particuliers

• Triangles isométriques : Cas où \( k = 1 \). Les triangles sont à la fois congruents et semblables.
• Triangles équiangles : Tous les angles égaux (60°), comme les triangles équilatéraux, sont automatiquement semblables.

Application avec le cosinus

Pour un angle \( \theta \) commun à deux triangles semblables :
\( \cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \) est identique dans les deux triangles.

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