Exercice 01 : Calculs trigonométriques
Énoncé
- Calculer cos \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\), sin \(\left(\frac{\pi}{3}\right)\), tan \(\left(\frac{3\pi}{4}\right)\).
- Présenter sur un cercle trigonométrique les points \(M\) \(\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)\) tel que \(M \in \mathbb{Z}\).
- Montrer que les mesures des angles \(\dfrac{\pi}{5}\), \(\dfrac{2\pi}{5}\) et \(\dfrac{3\pi}{5}\) sont des mesures de même angle.
Indication
- Utiliser les valeurs connues des fonctions trigonométriques sur le cercle unitaire.
- Représenter le point \(M\) sur le cercle trigonométrique et identifier sa position.
- Comparer les mesures des angles en utilisant les propriétés des angles inscrits dans un cercle.
Corrigée
- \begin{align*} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= -1. \end{align*}
- Le point \(M\) se trouve sur le cercle trigonométrique au point \(\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)\).
- Les angles \(\dfrac{\pi}{5}\), \(\dfrac{2\pi}{5}\) et \(\dfrac{3\pi}{5}\) sont des angles inscrits dans un même cercle. Donc, ils ont la même mesure.
Exercice 2 : Identités trigonométriques
Énoncé
- Montrer que \(-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\times\cos(7\pi+x)+\sin(9\pi-x)\times\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1\).
- Soit \(\alpha\) un nombre de l'intervalle \([0;\frac{\pi}{2}]\) tel que \(\sin(\alpha)=\frac{1}{3}\).
- Soient \(x\) un nombre réel tel que \(x\neq k\pi\), montrer que : \[ \frac{1}{1-\cos(x)}+\frac{1}{1+\cos(x)}=\frac{2}{\sin^{2}(x)}. \]
Montrer que \(\cos(\alpha)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
Déduire la valeur de \(\tan(\alpha)\).
Indication
- Utilisez les identités trigonométriques pour simplifier les expressions.
- Pour la deuxième partie, utilisez l'identité \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\).
- Pour la troisième partie, combinez les fractions et simplifiez.
Corrigée
- Simplifions l'expression : \[ -\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\times\cos(7\pi+x) + \sin(9\pi-x)\times\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right). \] En utilisant les identités \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)\) et \(\cos(7\pi + x) = -\cos(x)\), ainsi que \(\sin(9\pi - x) = \sin(x)\), on obtient : \[ -\cos(x) \times (-\cos(x)) + \sin(x) \times \cos(x) = \cos^2(x) + \sin(x)\cos(x). \] En utilisant l'identité \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\), on montre que l'expression est égale à 1.
- Pour \(\sin(\alpha) = \frac{1}{3}\) :
- Pour l'expression : \[ \frac{1}{1-\cos(x)} + \frac{1}{1+\cos(x)}, \] en combinant les fractions, on obtient : \[ \frac{(1+\cos(x)) + (1-\cos(x))}{(1-\cos(x))(1+\cos(x))} = \frac{2}{1 - \cos^2(x)} = \frac{2}{\sin^2(x)}. \]
En utilisant \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\), on trouve \(\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\).
\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\).
Exercice 3 : Fonction trigonométrique et résolution d'équations
Énoncé
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), on pose :
\[ P(x) = 2\cos(x)\sin(x) - 6\cos(x) - \sin(x) + 3. \]
- Calculer : \(P\left(\frac{\pi}{3}\right)\), \(P\left(\frac{\pi}{2}\right)\), et \(P\left(\frac{\pi}{6}\right)\).
- Montrer que pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \[ P(x) = (2\cos(x) - 1)(\sin(x) - 3). \]
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(P(x) = 0\).
- Établir le tableau de variations de \(P(x)\) sur \([0; \pi]\), puis déduire les solutions de l'inéquation \(P(x) \geqslant 0\) dans \([0; \pi]\).
Indication
- Pour les calculs, utilisez les valeurs exactes des fonctions trigonométriques aux angles donnés.
- Pour la factorisation, essayez de regrouper les termes de manière à faire apparaître un facteur commun.
- Pour résoudre \(P(x) = 0\), utilisez la forme factorisée de \(P(x)\).
- Pour le tableau de variations, étudiez le signe de la dérivée de \(P(x)\).
Corrigée
- Calculons les valeurs de \(P(x)\) :
- \(P\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 6\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + 3\).
- \(P\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 6\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3\).
- \(P\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 6\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + 3\).
- Montrons que \(P(x) = (2\cos(x) - 1)(\sin(x) - 3)\) :
En développant \((2\cos(x) - 1)(\sin(x) - 3)\), on retrouve l'expression de \(P(x)\).
- Résolvons \(P(x) = 0\) :
L'équation \((2\cos(x) - 1)(\sin(x) - 3) = 0\) donne deux cas :
- \(2\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2}\).
- \(\sin(x) - 3 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 3\) (ce qui est impossible).
Les solutions sont donc les \(x\) tels que \(\cos(x) = \frac{1}{2}\).
- Tableau de variations de \(P(x)\) sur \([0; \pi]\) :
En étudiant la dérivée de \(P(x)\), on détermine les intervalles où \(P(x)\) est croissante ou décroissante.
Les solutions de \(P(x) \geqslant 0\) sont les intervalles où \(P(x)\) est positive.
Exercice 4 : Résolution d'équations trigonométriques
Énoncé
- Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation : \( 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 \).
- Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation : \( \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).
Indication
- Isolez \( \cos(x) \) et utilisez les valeurs remarquables du cosinus.
- Déduisez les angles dont le sinus vaut \( \frac{1}{2} \), puis résolvez pour \( x \).
Corrigée
- Équation \( 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 \) : On isole \( \cos(x) \) : \[ \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Les solutions dans \( \mathbb{R} \) sont : \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). \] Autre écriture équivalente : \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). \]
- Équation \( \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \) : On sait que \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \) implique : \[ \theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). \] En remplaçant \( \theta \) par \( x + \frac{\pi}{3} \), on obtient : \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \] \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \] Les solutions dans \( \mathbb{R} \) sont donc : \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). \]
Exercice 5 : Résolution d'équation trigonométrique
Énoncé
Résoudre l'équation suivante pour \( x \) dans l'intervalle \([0, 2\pi]\) :
\[ \sin x = \frac{1}{2}. \]
- Donner la solution principale de l'équation.
- En déduire toutes les solutions dans \([0, 2\pi]\).
Indication
- Identifiez les angles pour lesquels le sinus prend la valeur \(\frac{1}{2}\).
- Rappelez-vous que le sinus est positif dans les premier et deuxième quadrants.
Corrigée
- La solution principale de l'équation \(\sin x = \frac{1}{2}\) est \( x = \frac{\pi}{6} \).
- Puisque le sinus est positif dans le premier et le deuxième quadrant, l'autre solution est : \[ x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. \]
- Ainsi, les solutions dans \([0, 2\pi]\) sont : \[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{et} \quad x = \frac{5\pi}{6}. \]
Exercice 06 : Identités Trigonométriques Fondamentales
Énoncé
On considère un angle \( x \) tel que \( \cos x \neq 0 \) et \( \sin x \neq 0 \).
- Déterminer l'expression de \( \sin 2x \) et \( \cos 2x \) en fonction de \( \sin x \) et \( \cos x \).
- En déduire que :
\[ \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \]
Indication
- Utilisez la définition de la tangente.
- Utilisez les formules de duplication :
- Exprimez la tangente double en utilisant \( \tan x \).
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x. \]
Corrigée
- Les formules de duplication donnent :
- En divisant \( \sin 2x \) par \( \cos 2x \) :
- En remplaçant \( \sin x \) et \( \cos x \) en fonction de \( \tan x \) :
On sait que :
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. \]
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x. \]
\[ \tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x}. \]
\[ \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}. \]
Exercice 7 : Étude d'une équation trigonométrique
Énoncé
Soit \( a \) un nombre réel de l'intervalle \( ]\frac{\pi}{2}, \pi[ \) tel que :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) \cos a + 2 \sin a \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \frac{14}{9}. \]
-
(a) Montrer que :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) \cos a + 2 \sin a \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = 1 + \sin^2 a. \]
-
(b) En déduire que :
\[ \sin a = \frac{\sqrt{5}}{3}. \]
- Calculer \( \cos a \) et \( \tan a \).
Indication
- Utilisez les identités trigonométriques fondamentales :
- \( \sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \cos a \).
- \( \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \sin a \).
- Substituez ces valeurs dans l'équation initiale et simplifiez.
- Utilisez l'identité \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) pour déterminer \( \cos a \).
Corrigée
- En utilisant les identités trigonométriques :
- On résout l'équation :
- Calcul de \( \cos a \) :
- Calcul de \( \tan a \) :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \cos a, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \sin a. \]
L'équation devient :\[ \cos a \cos a + 2 \sin a \sin a = \cos^2 a + 2 \sin^2 a. \]
Or, on sait que \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \), donc :\[ \cos^2 a + 2 \sin^2 a = 1 + \sin^2 a. \]
Ce qui est bien l'égalité demandée.\[ 1 + \sin^2 a = \frac{14}{9}. \]
En isolant \( \sin^2 a \), on trouve :\[ \sin^2 a = \frac{14}{9} - 1 = \frac{5}{9}. \]
Ainsi :\[ \sin a = \frac{\sqrt{5}}{3}. \]
\[ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}. \]
Donc :\[ \cos a = \frac{2}{3}. \]
\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}. \]
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