Trigonométrie Tronc Commun : 7 Exercices Corrigés

Exercice 01 : Calculs trigonométriques

Énoncé

Calculer cos $\left(\frac{\pi}{6}\right)$ , sin $\left(\frac{\pi}{3}\right)$ , tan $\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ .
Présenter sur un cercle trigonométrique les points $M$ $\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ tel que $M \in \mathbb{Z}$ .
Montrer que les mesures des angles $\dfrac{\pi}{5}$ , $\dfrac{2\pi}{5}$ et $\dfrac{3\pi}{5}$ sont des mesures de même angle.

Indication

Utiliser les valeurs connues des fonctions trigonométriques sur le cercle unitaire.
Représenter le point $M$ sur le cercle trigonométrique et identifier sa position.
Comparer les mesures des angles en utilisant les propriétés des angles inscrits dans un cercle.

Corrigée

$\begin{align*} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= -1. \end{align*}$
Le point $M$ se trouve sur le cercle trigonométrique au point $\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ .
Les angles $\dfrac{\pi}{5}$ , $\dfrac{2\pi}{5}$ et $\dfrac{3\pi}{5}$ sont des angles inscrits dans un même cercle. Donc, ils ont la même mesure.

Exercice 2 : Identités trigonométriques

Énoncé

Montrer que $-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\times\cos(7\pi+x)+\sin(9\pi-x)\times\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1$ .
Soit $\alpha$ un nombre de l'intervalle $[0;\frac{\pi}{2}]$ tel que $\sin(\alpha)=\frac{1}{3}$ .

Montrer que $\cos(\alpha)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Déduire la valeur de $\tan(\alpha)$ .

Soient $x$ un nombre réel tel que $x\neq k\pi$ , montrer que : $\frac{1}{1-\cos(x)}+\frac{1}{1+\cos(x)}=\frac{2}{\sin^{2}(x)}.$

Indication

Utilisez les identités trigonométriques pour simplifier les expressions.
Pour la deuxième partie, utilisez l'identité $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ .
Pour la troisième partie, combinez les fractions et simplifiez.

Corrigée

Simplifions l'expression : $-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\times\cos(7\pi+x) + \sin(9\pi-x)\times\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right).$ En utilisant les identités $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)$ et $\cos(7\pi + x) = -\cos(x)$ , ainsi que $\sin(9\pi - x) = \sin(x)$ , on obtient : $-\cos(x) \times (-\cos(x)) + \sin(x) \times \cos(x) = \cos^2(x) + \sin(x)\cos(x).$ En utilisant l'identité $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ , on montre que l'expression est égale à 1.
Pour $\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$ :

En utilisant $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ , on trouve $\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Pour l'expression : $\frac{1}{1-\cos(x)} + \frac{1}{1+\cos(x)},$ en combinant les fractions, on obtient : $\frac{(1+\cos(x)) + (1-\cos(x))}{(1-\cos(x))(1+\cos(x))} = \frac{2}{1 - \cos^2(x)} = \frac{2}{\sin^2(x)}.$

Exercice 3 : Fonction trigonométrique et résolution d'équations

Énoncé

Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ , on pose :

$P(x) = 2\cos(x)\sin(x) - 6\cos(x) - \sin(x) + 3.$

Calculer : $P\left(\frac{\pi}{3}\right)$ , $P\left(\frac{\pi}{2}\right)$ , et $P\left(\frac{\pi}{6}\right)$ .
Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $P(x) = (2\cos(x) - 1)(\sin(x) - 3).$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 0$ .
Établir le tableau de variations de $P(x)$ sur $[0; \pi]$ , puis déduire les solutions de l'inéquation $P(x) \geqslant 0$ dans $[0; \pi]$ .

Indication

Pour les calculs, utilisez les valeurs exactes des fonctions trigonométriques aux angles donnés.
Pour la factorisation, essayez de regrouper les termes de manière à faire apparaître un facteur commun.
Pour résoudre $P(x) = 0$ , utilisez la forme factorisée de $P(x)$ .
Pour le tableau de variations, étudiez le signe de la dérivée de $P(x)$ .

Corrigée

Calculons les valeurs de P(x) :
- $P\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 6\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + 3$ .
- $P\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 6\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3$ .
- $P\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 6\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + 3$ .
Montrons que $P(x) = (2\cos(x) - 1)(\sin(x) - 3)$ :
En développant $(2\cos(x) - 1)(\sin(x) - 3)$ , on retrouve l'expression de $P(x)$ .
Résolvons P(x)=0 :
L'équation $(2\cos(x) - 1)(\sin(x) - 3) = 0$ donne deux cas :
- $2\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2}$ .
- $\sin(x) - 3 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 3$ (ce qui est impossible).
Les solutions sont donc les $x$ tels que $\cos(x) = \frac{1}{2}$ .
Tableau de variations de $P(x)$ sur $[0; \pi]$ :
En étudiant la dérivée de $P(x)$ , on détermine les intervalles où $P(x)$ est croissante ou décroissante.

Les solutions de $P(x) \geqslant 0$ sont les intervalles où $P(x)$ est positive.

Exercice 4 : Résolution d'équations trigonométriques

Énoncé

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2\cos(x) - \sqrt{2} = 0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ .

Indication

Isolez $\cos(x)$ et utilisez les valeurs remarquables du cosinus.
Déduisez les angles dont le sinus vaut $\frac{1}{2}$ , puis résolvez pour $x$ .

Corrigée

Équation $2\cos(x) - \sqrt{2} = 0$ :

$\cos(x)$

$\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

$\mathbb{R}$

$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$

$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$

Équation $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ :

$\sin(\theta) = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$

$\theta$

$x + \frac{\pi}{3}$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi,$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi.$

$\mathbb{R}$

$x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$

Exercice 5 : Résolution d'équation trigonométrique

Énoncé

Résoudre l'équation suivante pour $x$ dans l'intervalle $[0, 2\pi]$ :

$\sin x = \frac{1}{2}.$

Donner la solution principale de l'équation.
En déduire toutes les solutions dans $[0, 2\pi]$ .

Indication

Identifiez les angles pour lesquels le sinus prend la valeur $\frac{1}{2}$ .
Rappelez-vous que le sinus est positif dans les premier et deuxième quadrants.

Corrigée

La solution principale de l'équation $\sin x = \frac{1}{2}$ est $x = \frac{\pi}{6}$ .
Puisque le sinus est positif dans le premier et le deuxième quadrant, l'autre solution est : $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$
Ainsi, les solutions dans $[0, 2\pi]$ sont : $x = \frac{\pi}{6} \quad \text{et} \quad x = \frac{5\pi}{6}.$

Exercice 06 : Identités Trigonométriques Fondamentales

Énoncé

On considère un angle $x$ tel que $\cos x \neq 0$ et $\sin x \neq 0$ .

Déterminer l'expression de $\sin 2x$ et $\cos 2x$ en fonction de $\sin x$ et $\cos x$ .
En déduire que :
$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$

Indication

Utilisez la définition de la tangente.
Utilisez les formules de duplication :

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x.$

Exprimez la tangente double en utilisant $\tan x$ .

Corrigée

On sait que :

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.$

Les formules de duplication donnent :

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x.$

En divisant $\sin 2x$ par $\cos 2x$ :

$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x}.$

En remplaçant $\sin x$ et $\cos x$ en fonction de $\tan x$ :

$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}.$

Exercice 7 : Étude d'une équation trigonométrique

Énoncé

Soit $a$ un nombre réel de l'intervalle $]\frac{\pi}{2}, \pi[$ tel que :

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) \cos a + 2 \sin a \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \frac{14}{9}.$

(a) Montrer que :
$\sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) \cos a + 2 \sin a \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = 1 + \sin^2 a.$
(b) En déduire que :
$\sin a = \frac{\sqrt{5}}{3}.$
Calculer $\cos a$ et $\tan a$ .

Indication

Utilisez les identités trigonométriques fondamentales :
- $\sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \cos a$ .
- $\cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \sin a$ .
Substituez ces valeurs dans l'équation initiale et simplifiez.
Utilisez l'identité $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ pour déterminer $\cos a$ .

Corrigée

En utilisant les identités trigonométriques :

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \cos a, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \sin a.$

$\cos a \cos a + 2 \sin a \sin a = \cos^2 a + 2 \sin^2 a.$

$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$

$\cos^2 a + 2 \sin^2 a = 1 + \sin^2 a.$

On résout l'équation :

$1 + \sin^2 a = \frac{14}{9}.$

$\sin^2 a$

$\sin^2 a = \frac{14}{9} - 1 = \frac{5}{9}.$

$\sin a = \frac{\sqrt{5}}{3}.$

Calcul de $\cos a$ :

$\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}.$

$\cos a = \frac{2}{3}.$

Calcul de $\tan a$ :

$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.$

Theme Customizer Edit Theme HTML Statics Layout Comments Pages Posts Settings Edit This Post

LexMath

Trigonométrie Tronc Commun : 7 Exercices Corrigés

Exercice 01 : Calculs trigonométriques

Énoncé

Indication

Corrigée

Exercice 2 : Identités trigonométriques

Énoncé

Indication

Corrigée

Exercice 3 : Fonction trigonométrique et résolution d'équations

Énoncé

Indication

Corrigée

Exercice 4 : Résolution d'équations trigonométriques

Énoncé

Indication

Corrigée

Exercice 5 : Résolution d'équation trigonométrique

Énoncé

Indication

Corrigée

Exercice 06 : Identités Trigonométriques Fondamentales

Énoncé

Indication

Corrigée

Exercice 7 : Étude d'une équation trigonométrique

Énoncé

Indication

Corrigée

Share Link

Ces posts pourraient vous intéresser

Enregistrer un commentaire

À propos

Liens rapides

Bookmarks

Rechercher