Limites d’une Fonction | Exercices Corrigés

Analyser les termes dominants (de plus haut degré) et comparer les degrés du numérateur et du dénominateur pour les fractions rationnelles.

1. \(\lim_{x \to +\infty} 1+5x^2+8x = +\infty\) (termes dominants : \(5x^2\)).
2. \(\lim_{x \to -\infty} -5x^3+1 = +\infty\) (car \(x^3\) négatif multiplié par -5 donne \(+\infty\)).
3. \(\lim_{x \to -\infty} x+(1-\sqrt{2})x^2+4 = -\infty\) (terme dominant : \((1-\sqrt{2})x^2\), coefficient négatif).
4. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{4+2x^3}{3x^3+5x^2+1} = \frac{2}{3}\) (rapport des coefficients dominants \(2x^3/3x^3\)).
5. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^5+2x^2}{5x^3-2x+6} = -\infty\) (degré numérateur > dénominateur ; terme dominant \(-\frac{3}{5}x^2\)).
6. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+x^2-1}{5x^4+3x+6} = 0\) (degré dénominateur > numérateur).

• Factoriser le numérateur/dénominateur pour simplifier (ex: limites 1, 7).
• Utiliser la conjuguée pour les racines carrées (ex: limites 2, 3, 5, 6).
• Simplifier les expressions algébriques (ex: limite 8).
• Vérifier les formes indéterminées et appliquer la règle de L'Hôpital si nécessaire.

1. Limite 1 :
   Factorisation du numérateur : \[ -2x^2 + 2x - 2 = -2(x^2 - x + 1) \] La limite devient : \[ \lim_{x \to 2} \frac{-2(x^2 - x + 1)}{x - 2} \to -\infty \quad (\text{car numérateur} \to -6, \text{dénominateur} \to 0^- \text{ou} 0^+) \]
2. Limite 2 :
   Multiplier par le conjugué : \[ \frac{(x - \sqrt{x+2})(x + \sqrt{x+2})}{(x-2)(x + \sqrt{x+2})} = \frac{x^2 - (x+2)}{(x-2)(x + \sqrt{x+2})} \] Simplifier : \[ \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x + \sqrt{x+2})} = \frac{1}{4} \]
3. Limite 3 :
   Multiplier par le conjugué : \[ \frac{(\sqrt{4-x} - \sqrt{4+x})(\sqrt{4-x} + \sqrt{4+x})}{x(\sqrt{4-x} + \sqrt{4+x})} = \frac{-2x}{x(\sqrt{4-x} + \sqrt{4+x})} \] Simplifier : \[ \lim_{x \to 0} \frac{-2}{\sqrt{4} + \sqrt{4}} = -\frac{1}{2} \]
4. Limite 4 :
   Substituer \(x = 1\) : \[ \frac{2(1)^2 + 1 + 1}{1^2 - 1 + 3} = \frac{4}{3} \]
5. Limite 5 :
   Multiplier par le conjugué : \[ \frac{(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(x-1)(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{x}{x(x-1)(\sqrt{x+1} + 1)} \] Simplifier : \[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x-1)(\sqrt{1} + 1)} = -\frac{1}{2} \]
6. Limite 6 :
   Multiplier numérateur et dénominateur par les conjugués : \[ \frac{(3 - \sqrt{5+x})(3 + \sqrt{5+x})(1 + \sqrt{5-x})}{(1 - \sqrt{5-x})(1 + \sqrt{5-x})(3 + \sqrt{5+x})} \] Simplifier pour obtenir la réponse finale : \(\frac{1}{2}\)
7. Limite 7 :
   Factoriser le dénominateur : \[ \frac{x + 8}{(x-2)(x+2)} \] Substituer \(x = 2\) donne \(\frac{10}{0}\), donc la limite n'existe pas (tend vers \(\infty\) ou \(-\infty\)).
8. Limite 8 :
   Remplacer \(x = 1\) donne une forme indéterminée. Utiliser la règle de L'Hôpital : \[ \lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{2}\sqrt{x}}{-2x} = -\frac{3}{4} \]

• Utiliser la substitution directe si possible.
• Simplifier les expressions (factorisation, conjuguée).
• Analyser les signes pour les limites latérales.
• Pour les formes indéterminées, utiliser des techniques de rationalisation.

1. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^3 - 6}{6 + 2x}\) :
   Substitution directe : \(\frac{0 - 6}{6 + 0} = -1\).
2. \(\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{3x^2 - x - 1}{2x - 1}\) :
   Le dénominateur tend vers \(2(1) - 1 = 1\) (positif). Calcul direct : \(\frac{3(1)^2 - 1 - 1}{1} = 1\).
3. \(\lim\limits_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 5x + 6}{(2 - x)^2}\) :
   Factoriser le numérateur : \(\frac{(x-2)(x-3)}{(2 - x)^2} = \frac{-(x-3)}{2 - x}\).
   Quand \(x \to 2^-\), cela tend vers \(\frac{-(2 - 3)}{0^+} = +\infty\).
4. \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{2x - 1}{1 - x^2}\) :
   Forme \(\frac{1}{0}\). Analyse des signes :
   - À gauche de 1 : \(1 - x^2 > 0 \Rightarrow -\infty\).
   - À droite de 1 : \(1 - x^2 < 0 \Rightarrow +\infty\).
   Donc pas de limite finie.
5. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x - 2}\) :
   Multiplier par le conjugué : \(\frac{\sqrt{x^2 - 4}(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x + 2}\).
   Quand \(x \to 2\), cela tend vers \(0/4 = 0\).
6. \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3x + 1}}{\sqrt{x - 1}}\) :
   Rationaliser le numérateur :
   \(\frac{(\sqrt{x + 3} - \sqrt{3x + 1})(\sqrt{x + 3} + \sqrt{3x + 1})}{\sqrt{x - 1}(\sqrt{x + 3} + \sqrt{3x + 1})}\)
   Simplifier : \(\frac{-2(x - 1)}{\sqrt{x - 1}(\sqrt{x + 3} + \sqrt{3x + 1})} = \frac{-2\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{3x + 1}}\).
   Quand \(x \to 1\), cela tend vers \(0\).

1. Pour les limites avec racines carrées en \(-\infty\), factorisez \(x^2\) sous la racine et simplifiez en tenant compte du signe.
2. Utilisez des conjugués pour éliminer les formes indéterminées (exemple : \(\sqrt{A} - B\)).
3. Étudiez le terme dominant lorsque \(x \to \pm\infty\).

1. \( \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + x + 5} \)

   Factorisation : \( \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2})} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}} \). Comme \(x \to -\infty\), \(|x| = -x\). La limite devient \(-x \cdot 1 = +\infty\).

2. \( \lim_{x \to -\infty} x + \sqrt{1 - x} \)

   \(\sqrt{1 - x} \approx \sqrt{-x}\). Donc \(x + \sqrt{-x}\). Comme \(x \to -\infty\), la limite est \(-\infty\).

3. \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{3x^2 - 2} + x \)

   \(\sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}\). Donc \(x\sqrt{3} + x = x(\sqrt{3} + 1) \to +\infty\).

4. \( \lim_{x \to -\infty} \sqrt{3x^2 - 2} + x \)

   \(\sqrt{3x^2} = |x|\sqrt{3} = -x\sqrt{3}\) (car \(x < 0\)). Donc \(-x\sqrt{3} + x = x(1 - \sqrt{3})\). Comme \(x \to -\infty\) et \(1 - \sqrt{3} < 0\), la limite est \(+\infty\).

5. \( \lim_{x \to +\infty} 3x - \sqrt{2x^2 + 3} \)

   \(\sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}\). Donc \(3x - x\sqrt{2} = x(3 - \sqrt{2}) \to +\infty\).

6. \( \lim_{x \to -\infty} \sqrt{2x^2 - 3x + 1} + x \)

   \(\sqrt{2x^2} = |x|\sqrt{2} = -x\sqrt{2}\) (car \(x < 0\)). Donc \(-x\sqrt{2} + x = x(1 - \sqrt{2}) \to +\infty\).

7. \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{9x^2 - 1} - 3x \)

   Multiplication par le conjugué : \(\frac{-1}{\sqrt{9x^2 - 1} + 3x} \approx \frac{-1}{6x} \to 0\).

8. \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x} \)

   Factorisation : \(\sqrt{x}(\sqrt{2 + \frac{3}{x}} - 1) \approx \sqrt{x}(\sqrt{2} - 1) \to +\infty\).

1. Pour \( x \to \pm\infty \), factorisez les termes dominants au numérateur et dénominateur.
2. Pour les limites en \( 0 \), utilisez l'expression correspondante de \( f(x) \) selon le côté approché.
3. Comparez les limites à gauche et à droite en \( 0 \) pour conclure.

1. Limites :
   • \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) :
     Pour \( x \to -\infty \), \( f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1} \).
     Factorisation : \( \dfrac{x^3}{x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = \dfrac{x}{1 - \frac{1}{x^2}} \).
     Comme \( x \to -\infty \), \( \dfrac{x}{1} \to -\infty \).
     Résultat : \( -\infty \).
   • \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) :
     Pour \( x \to +\infty \), \( f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2} \).
     Division par \( x^2 \) : \( \dfrac{\frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} \to 0 \).
     Résultat : \( 0 \).
   • \( \lim_{x \to 0^-} f(x) \) :
     Pour \( x \to 0^- \), \( f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1} \).
     Calcul direct : \( \dfrac{0}{-1} = 0 \).
     Résultat : \( 0 \).
   • \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) :
     Pour \( x \to 0^+ \), \( f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2} \).
     Calcul direct : \( \dfrac{0}{2} = 0 \).
     Résultat : \( 0 \).
2. Limite en \( 0 \) :
   Les limites à gauche et à droite en \( 0 \) sont égales (\( 0 \)).
   Conclusion : \( f \) admet une limite en \( 0 \), et \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \).

1. Utilisez les propriétés des limites trigonométriques fondamentales, comme \( \lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta} = 1 \).
2. Pour les limites avec \( \cos \), utilisez l'identité \( 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \).
3. Pour les limites en un point autre que \( 0 \), faites un changement de variable pour ramener à une limite en \( 0 \).

1. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{x} \) :
   On utilise \( \lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta} = 1 \).
   \( \dfrac{\sin 4x}{x} = 4 \cdot \dfrac{\sin 4x}{4x} \to 4 \cdot 1 = 4 \).
   Résultat : \( 4 \).
2. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x^2 + 3x)}{x} \) :
   Pour \( x \to 0 \), \( x^2 + 3x \approx 3x \).
   \( \dfrac{\sin(x^2 + 3x)}{x} \approx \dfrac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3 \).
   Résultat : \( 3 \).
3. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{7x}{\tan 5x} \) :
   On utilise \( \tan \theta \approx \theta \) pour \( \theta \to 0 \).
   \( \dfrac{7x}{\tan 5x} \approx \dfrac{7x}{5x} = \dfrac{7}{5} \).
   Résultat : \( \dfrac{7}{5} \).
4. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 3x} \) :
   On utilise \( \dfrac{\sin 4x}{\sin 3x} = \dfrac{4x}{3x} \cdot \dfrac{\sin 4x}{4x} \cdot \dfrac{3x}{\sin 3x} \to \dfrac{4}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{4}{3} \).
   Résultat : \( \dfrac{4}{3} \).
5. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 2x}{x^2} \) :
   On utilise \( 1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x \).
   \( \dfrac{1 - \cos 2x}{x^2} = \dfrac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^2 \to 2 \cdot 1^2 = 2 \).
   Résultat : \( 2 \).
6. \( \lim_{x \to 1} \dfrac{\sin(x - 1)}{x - 1} \) :
   On pose \( h = x - 1 \), donc \( h \to 0 \).
   \( \dfrac{\sin h}{h} \to 1 \).
   Résultat : \( 1 \).
7. \( \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1 - \cos \sqrt{x}}{x} \) :
   On utilise \( 1 - \cos \sqrt{x} = 2 \sin^2 \left( \dfrac{\sqrt{x}}{2} \right) \).
   \( \dfrac{1 - \cos \sqrt{x}}{x} = \dfrac{2 \sin^2 \left( \dfrac{\sqrt{x}}{2} \right)}{x} \approx \dfrac{2 \left( \dfrac{\sqrt{x}}{2} \right)^2}{x} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{x}{4}}{x} = \dfrac{1}{2} \).
   Résultat : \( \dfrac{1}{2} \).
8. \( \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin x \cdot \cos x}{x - \frac{\pi}{4}} \) :
   On pose \( h = x - \dfrac{\pi}{4} \), donc \( h \to 0 \).
   \( \sin x \cdot \cos x = \dfrac{\sin 2x}{2} \).
   \( \dfrac{\sin 2x}{2h} = \dfrac{\sin \left( 2h + \dfrac{\pi}{2} \right)}{2h} = \dfrac{\cos 2h}{2h} \approx \dfrac{1}{2h} \).
   Résultat : La limite n'existe pas (tend vers \( \pm\infty \)).

1. Utilisez les bornes de \( \sin x \) pour encadrer \( 3 + 2\sin x \).
2. Utilisez l'inégalité \( |\sin x| \leq 1 \) pour majorer l'expression.
3. Utilisez l'inégalité \( |\sin \theta| \leq 1 \) pour encadrer \( f(x) - 2 \).

1. Encadrement et limite :
   On sait que \( -1 \leq \sin x \leq 1 \), donc \( 1 \leq 3 + 2\sin x \leq 5 \).
   En divisant par \( 1 + x^2 \) (toujours positif), on obtient :
   \[ \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{3+2\sin x}{1+x^2} \leq \frac{5}{1+x^2}. \]
   Comme \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+x^2} = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{1+x^2} = 0 \), par le théorème des gendarmes,
   \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3+2\sin x}{1+x^2} = 0. \]
2. Majoration et limite :
   Comme \( |\sin x| \leq 1 \), on a :
   \[ \left| \frac{2x\sin x}{x^2-1} \right| \leq \frac{2x}{x^2-1}. \]
   Pour \( x > 1 \), \( \frac{2x}{x^2-1} \approx \frac{2}{x} \to 0 \) quand \( x \to +\infty \).
   Par le théorème des gendarmes,
   \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x\sin x}{x^2-1} = 0. \]
3. Encadrement et limite :
   On a \( f(x) - 2 = x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \).
   Comme \( |\sin \theta| \leq 1 \), on obtient :
   \[ |f(x) - 2| = |x| \cdot \left| \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right| \leq |x|. \]
   Quand \( x \to 0^- \), \( |x| \to 0 \), donc par le théorème des gendarmes,
   \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 2. \]