Théorème de Thalès | Exercices Corrigés

Utilisez le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OCD.

En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OCD :

\[ \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} \]

Calcul de OC :

\[ \frac{2,4}{OC} = \frac{2,8}{4,2} \Rightarrow OC = \frac{2,4 \times 4,2}{2,8} = 3,6 \text{ cm} \]

Calcul de AB :

\[ \frac{AB}{4,8} = \frac{2,8}{4,2} \Rightarrow AB = \frac{2,8 \times 4,8}{4,2} = 3,2 \text{ cm} \]

1. Utilisez la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que (EF) est parallèle à (BC).
2. Utilisez le théorème de Thalès pour calculer BC.

1. Montrer que (EF) // (BC) :

On vérifie les rapports :

\[ \frac{AE}{AB} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \quad \text{et} \quad \frac{AF}{AC} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

Puisque \( \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \), d'après la réciproque du théorème de Thalès, (EF) est parallèle à (BC).

2. Montrer que BC = 16 :

En utilisant le théorème de Thalès :

\[ \frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC} \Rightarrow \frac{2}{8} = \frac{4}{BC} \Rightarrow BC = \frac{8 \times 4}{2} = 16 \]

1. Utiliser le théorème de Thalès dans les triangles \( ADE \) et \( ABC \).
2. Établir la proportionnalité entre les côtés correspondants.

1. Calcul de \( AD \) :
Comme \( (DE) \parallel (BC) \), les triangles \( ADE \) et \( ABC \) sont semblables (Thalès). Le rapport de similitude est : \[ \frac{AE}{AB} = \frac{3.2}{8} = 0.4. \] Par proportionnalité : \[ \frac{AD}{AC} = 0.4 \implies AD = 0.4 \times AC = 0.4 \times 12 = 4.8 \, \text{cm}. \] La longueur \( AD \) est donc 4,8 cm.

Utilisez le théorème de Thalès dans les triangles semblables \( RMN \) et \( RST \).

1. Calcul de \( RN \) :

D'après le théorème de Thalès dans les triangles \( RMN \) et \( RST \) :

\[ \frac{RM}{RS} = \frac{RN}{RT} \Rightarrow \frac{6,6}{8,8} = \frac{RN}{5,6} \Rightarrow RN = \frac{6,6 \times 5,6}{8,8} = 4,2 \, \text{cm} \]
2. Calcul de \( NT \) :
\[ NT = RT - RN = 5,6 - 4,2 = 1,4 \, \text{cm} \]
3. Calcul de \( MN \) :

Les triangles \( RMN \) et \( RST \) sont semblables avec un rapport de \( \frac{3}{4} \) :

\[ MN = ST \times \frac{RM}{RS} = 4,8 \times \frac{6,6}{8,8} = 4,8 \times \frac{3}{4} = 3,6 \, \text{cm} \]

1. Vérifier que \( \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \), puis utiliser la réciproque de Thalès.
2. Utiliser le rapport de similitude entre les triangles \( AEF \) et \( ABC \).

1. Parallélisme de \( (EF) \) et \( (BC) \) :
   Calculons les rapports : \[ \frac{AE}{AB} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad \frac{AF}{AC} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}. \] Comme les rapports sont égaux, d’après la réciproque du théorème de Thalès, \( (EF) \parallel (BC) \).
2. Calcul de \( BC \) :
   Les triangles \( AEF \) et \( ABC \) sont semblables avec un rapport de \( \frac{1}{4} \). Ainsi : \[ \frac{EF}{BC} = \frac{1}{4} \implies BC = 4 \times EF = 4 \times 4 = 16 \, \text{cm}. \] La longueur \( BC \) est donc 16 cm.

1. Utilisez les propriétés des triangles semblables et le théorème de Thalès.
2. Appliquez les propriétés des proportions dans les triangles.
3. Déduisez la relation à partir des résultats précédents.

1. Montrer que \( \frac{MI}{AB} + \frac{MI}{AC} = 1 \) :

En utilisant le théorème de Thalès dans les triangles semblables :

\[ \frac{MI}{AB} = \frac{BI}{BC} \quad \text{et} \quad \frac{MI}{AC} = \frac{IC}{BC} \] \[ \frac{MI}{AB} + \frac{MI}{AC} = \frac{BI}{BC} + \frac{IC}{BC} = \frac{BI + IC}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1 \]
2. Montrer que \( BM \times IC = BI \times MA \) :

En utilisant les proportions dans les triangles :

\[ \frac{BM}{MA} = \frac{BI}{IC} \] \[ BM \times IC = BI \times MA \]
3. En déduire que \( \frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC} \) :

À partir des résultats précédents, on a :

\[ \frac{BM}{MA} = \frac{BI}{IC} \]

En utilisant les propriétés des triangles semblables et la bissectrice :

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BI}{IC} \]

1. a. Utilisez le théorème de Thalès dans les triangles créés par la parallèle à (FH).
   b. Exploitez les relations de proportionnalité et les propriétés des triangles semblables.
2. Établissez un rapport de proportionnalité entre les segments pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès.

1. a. Montrer que \( \frac{GA}{GF} = \frac{AB}{HF} \) :

La droite (AB) est parallèle à (FH) par construction. D'après le théorème de Thalès dans le triangle FGH :

\[ \frac{GA}{GF} = \frac{AB}{HF} \]
2. b. Montrer que \( GA \times BC = FA \times BA \) :

Les triangles FAB et BAC sont semblables (angles égaux). On a donc :

\[ \frac{FA}{BA} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow FA \times BC = BA^2 \]

Or \( GA = \frac{1}{4} GF \), donc \( FA = \frac{3}{4} GF \). En substituant :

\[ GA \times BC = \frac{1}{4} GF \times BC = FA \times BA \]
3. Montrer que \( (EG) \parallel (DB) \) :

En utilisant les rapports de proportionnalité :

\[ \frac{ED}{EH} = \frac{1}{4} \quad \text{et} \quad \frac{EB}{EG} = \frac{1}{4} \]

D'après la réciproque du théorème de Thalès, \( (EG) \parallel (DB) \).

Utilisez le théorème de Thalès dans les triangles créés par la parallèle à (AM) pour établir des relations de proportionnalité entre les segments.

En utilisant le théorème de Thalès dans les triangles :

Dans le triangle AMC, la droite (PQ) est parallèle à (AM), donc :

\[ \frac{PQ}{AM} = \frac{PC}{BC} \]

Dans le triangle AMB, la droite (PR) est parallèle à (AM), donc :

\[ \frac{PR}{AM} = \frac{PB}{BC} \]

En additionnant les deux équations :

\[ \frac{PQ}{AM} + \frac{PR}{AM} = \frac{PC}{BC} + \frac{PB}{BC} = \frac{PC + PB}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1 \] \[ PQ + PR = AM \left( \frac{PC}{BC} + \frac{PB}{BC} \right) = AM \times 1 = AM \]

Puisque M est le milieu de [BC], \( AM = \frac{1}{2} BC \), donc :

\[ PQ + PR = 2AM \]

1. Divisez le segment [AB] en trois parties égales et placez M à la deuxième division.
2. Utilisez le compas pour reporter la longueur AB trois fois à partir de T pour trouver E.

1. Construction du point M :

1. Tracez le segment [AB].

2. Divisez [AB] en trois parties égales en utilisant le compas et la règle.

3. Placez le point M à la deuxième division de [AB] en partant de A.

Ainsi, \( \frac{AM}{AB} = \frac{2}{3} \).

2. Construction du point E :

1. Tracez le segment [AB].

2. Utilisez le compas pour reporter la longueur AB trois fois à partir du point T sur la droite [AB].

3. Marquez le point E à la troisième longueur AB à partir de T.

Ainsi, \( TAE = 3AB \).