Trigonométrie 3ème Année College | Exercices Corrigés

Utiliser les définitions des fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.

• \( AB = BC \times \sin C \)
• \( AC = BC \times \cos C \)
• \( AB = AC \times \tan C \)
• \( AB = AC \) est incorrect dans un triangle rectangle sauf si \( \tan C = 1 \).

1. Utiliser le théorème de Pythagore pour vérifier si le triangle est rectangle.
2. Utiliser les définitions des fonctions trigonométriques.
3. Déduire les valeurs à partir des rapports trigonométriques.

1. Montrer que ABC est un triangle rectangle en A :
Vérifions avec le théorème de Pythagore : \[ AB^2 + AC^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26 \neq 13^2 = 169. \] Il semble y avoir une erreur dans les mesures fournies car elles ne satisfont pas le théorème de Pythagore.
2. Calculer les rapports trigonométriques de ABC :
Si le triangle était rectangle en A, on aurait : \[ \sin B = \frac{AC}{BC}, \quad \cos B = \frac{AB}{BC}, \quad \tan B = \frac{AC}{AB}. \]
3. En déduire : \( \cos ACB \), \( \sin ACB \) et \( \tan ACB \) :
Si le triangle était rectangle en A, on aurait : \[ \cos ACB = \frac{AC}{BC}, \quad \sin ACB = \frac{AB}{BC}, \quad \tan ACB = \frac{AB}{AC}. \]

Utiliser les relations trigonométriques fondamentales et les angles complémentaires.

• \(\cos 30^\circ = \sin 60^\circ\)
• \(\sin 47^\circ = \cos 43^\circ\)
• \(\tan 52^\circ = \cot 38^\circ\)
• \(\cos 80^\circ \times \sin 10^\circ = \sin^2 10^\circ\)
• \(\tan 25^\circ \times \tan 65^\circ = 1\)

Utiliser les identités trigonométriques pour simplifier les expressions.

1. Simplification de A :
   \(A = \cos 35^\circ \times \sin 55^\circ = \cos 35^\circ \times \cos 35^\circ = \cos^2 35^\circ\)
2. Simplification de B :
   \(B = (\sin 40^\circ - \cos 50^\circ)^2 + 2\cos 40^\circ \times \sin 50^\circ = \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1\)
3. Simplification de C :
   \(C = 2\tan^2 60^\circ + 4\tan 45^\circ = 2 \times 3 + 4 \times 1 = 10\)
4. Simplification de D :
   \(D = \frac{1}{\tan^3 54^\circ + 1} = \frac{1}{\tan^3 54^\circ + \tan^3 36^\circ} = \frac{1}{1} = 1\)

1. Utilisez l'identité fondamentale \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
2. Mettez les fractions au même dénominateur et simplifiez.
3. Factorisez et utilisez les identités trigonométriques.
4. Simplifiez en utilisant les propriétés de la tangente.

1. Simplification de \( E = 2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x - 2 \) :
\[ E = 2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x - 2 = 2 \sin^2 x + 3 (1 - \sin^2 x) - 2 = 2 \sin^2 x + 3 - 3 \sin^2 x - 2 = -\sin^2 x + 1 = \cos^2 x \]
2. Simplification de \( F = \frac{1}{1 + \sin x} + \frac{1}{1 - \sin x} - \frac{2}{\cos^2 x} \) :
\[ F = \frac{1}{1 + \sin x} + \frac{1}{1 - \sin x} - \frac{2}{\cos^2 x} = \frac{(1 - \sin x) + (1 + \sin x)}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} - \frac{2}{\cos^2 x} = \frac{2}{1 - \sin^2 x} - \frac{2}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{2}{\cos^2 x} = 0 \]
3. Simplification de \( G = \cos^4 x - \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^4 x \) :
\[ G = \cos^4 x - \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^4 x = (\cos^4 x - \sin^4 x) - (\cos^2 x - \sin^2 x) = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) - (\cos^2 x - \sin^2 x) = (\cos^2 x - \sin^2 x)(1) - (\cos^2 x - \sin^2 x) = 0 \]
4. Simplification de \( H = \cos x \sin x (1 - \tan x) \left( 1 + \frac{1}{\tan x} \right) \) :
\[ H = \cos x \sin x (1 - \tan x) \left( 1 + \frac{1}{\tan x} \right) = \cos x \sin x (1 - \tan x) \left( \frac{\tan x + 1}{\tan x} \right) = \cos x \sin x \left( \frac{(1 - \tan x)(1 + \tan x)}{\tan x} \right) = \cos x \sin x \left( \frac{1 - \tan^2 x}{\tan x} \right) = \cos x \sin x \left( \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} \right) = \cos x \sin x \left( \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} \right) = \cos^2 x - \sin^2 x \]

1. Utilisez l'identité fondamentale \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) pour trouver \( \cos a \), puis \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \).
2. Isolez \( \cos a \) dans l'équation donnée, puis utilisez l'identité fondamentale pour trouver \( \sin a \) et \( \tan a \).
3. Utilisez la définition de la tangente et l'identité fondamentale pour trouver \( \sin a \) et \( \cos a \).

1. Calcul de \( \cos a \) et \( \tan a \) :
\[ \cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \] \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \]
2. Calcul de \( \sin a \) et \( \tan a \) :
\[ 4\cos a - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos a = \frac{\sqrt{3}}{4} \] \[ \sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4} \] \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{13}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3} \]
3. Calcul de \( \cos a \) et \( \sin a \) :
\[ \tan a = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \sin a = \frac{\cos a}{\sqrt{3}} \] \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \left(\frac{\cos a}{\sqrt{3}}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \frac{\cos^2 a}{3} + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \frac{4\cos^2 a}{3} = 1 \Rightarrow \cos^2 a = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos a = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin a = \frac{\cos a}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \]

1. Utilisez la réciproque du théorème de Pythagore.
2. Utilisez les définitions de sin et tan dans un triangle rectangle.
3. Utilisez les propriétés des triangles rectangles et les formules de projection.
4. Utilisez l'identité fondamentale pour trouver \( \sin a \), puis \( \tan a \).

1. Montrer que MNP est un triangle rectangle en M :
\[ MN^2 + MP^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = NP^2 \] Puisque \( MN^2 + MP^2 = NP^2 \), le triangle MNP est rectangle en M.
2. Calcul de sin MNP et tan MNP :
\[ \sin MNP = \frac{MP}{NP} = \frac{12}{13} \] \[ \tan MNP = \frac{MP}{MN} = \frac{12}{5} \]
3. Calcul de PH et MH :

Dans le triangle MNP rectangle en M, la hauteur MH est donnée par :

\[ MH = \frac{MN \times MP}{NP} = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13} \]

Pour calculer PH, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle MHP :

\[ PH = \sqrt{MP^2 - MH^2} = \sqrt{12^2 - \left(\frac{60}{13}\right)^2} = \sqrt{144 - \frac{3600}{169}} = \sqrt{\frac{24336 - 3600}{169}} = \sqrt{\frac{20736}{169}} = \frac{144}{13} \]
4. Calcul de tan a :
\[ \sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7} \] \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{7}}{\frac{2}{7}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \]

1. a. Utiliser le théorème de Pythagore pour trouver BC.
2. b. Utiliser les définitions des fonctions trigonométriques.
3. 2) Utiliser les propriétés des triangles rectangles et les relations métriques.
4. II. Manipuler les expressions trigonométriques pour établir l'égalité.

1. a. Montrer que \( BC = \sqrt{15} \) :
En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC : \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = (\sqrt{2} + 2)^2 + (2\sqrt{2} - 1)^2 = 15. \] Donc, \( BC = \sqrt{15} \).
2. b. Calculer \( \sin ACB \) et \( \tan ACB \) :
\[ \sin ACB = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{15}}, \] \[ \tan ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{2} + 2}{2\sqrt{2} - 1}. \]
3. 2) Calculer CD :
En utilisant les propriétés des triangles rectangles et les relations métriques, on trouve : \[ CD = \frac{AC \times AB}{BC} = \frac{(2\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 2)}{\sqrt{15}}. \]
4. II. Montrer que :
\[ \frac{\left( \cos a + \sin a \right)^2}{1 - \cos^2 a} = \left( 1 + \frac{1}{\tan a} \right)^2. \] En développant et simplifiant les deux côtés de l'équation, on montre qu'ils sont égaux.

1. Factoriser l'expression \(\cos^4 x - \sin^4 x\) comme différence de carrés.
2. Exprimer \(\tan x\) en termes de \(\sin x\) et \(\cos x\), puis simplifier.
3. Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis simplifier.

1. Démonstration de \(\cos^4 x - \sin^4 x = \cos^2 x - \sin^2 x\) :
\[ \cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 - (\sin^2 x)^2 = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x). \] Comme \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), on obtient : \[ \cos^4 x - \sin^4 x = \cos^2 x - \sin^2 x. \]
2. Démonstration de \(\tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \times \sin^2 x\) :
Partons de \(\tan^2 x - \sin^2 x\) : \[ \tan^2 x - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x = \sin^2 x \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right). \] Simplifions : \[ \sin^2 x \left(\frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}\right) = \sin^2 x \times \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \times \sin^2 x. \]
3. Démonstration de \(\frac{2 \cos^3 x - \cos x}{\sin x - 2 \sin^3 x} = \frac{1}{\tan x}\) :
Factorisons le numérateur et le dénominateur : \[ \frac{\cos x (2 \cos^2 x - 1)}{\sin x (1 - 2 \sin^2 x)}. \] En utilisant les identités \(2 \cos^2 x - 1 = \cos 2x\) et \(1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x\), on obtient : \[ \frac{\cos x \cdot \cos 2x}{\sin x \cdot \cos 2x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}. \]