Trigonométrie 3ème Année College | Exercices Corrigés

Utiliser les définitions des fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.

• $AB = BC \times \sin C$
• $AC = BC \times \cos C$
• $AB = AC \times \tan C$
• $AB = AC$ est incorrect dans un triangle rectangle sauf si $\tan C = 1$.

1. Utiliser le théorème de Pythagore pour vérifier si le triangle est rectangle.
2. Utiliser les définitions des fonctions trigonométriques.
3. Déduire les valeurs à partir des rapports trigonométriques.

1. Montrer que ABC est un triangle rectangle en A :
Vérifions avec le théorème de Pythagore : $$AB^2 + AC^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26 \neq 13^2 = 169.$$ Il semble y avoir une erreur dans les mesures fournies car elles ne satisfont pas le théorème de Pythagore.
2. Calculer les rapports trigonométriques de ABC :
Si le triangle était rectangle en A, on aurait : $$\sin B = \frac{AC}{BC}, \quad \cos B = \frac{AB}{BC}, \quad \tan B = \frac{AC}{AB}.$$
3. En déduire : $\cos ACB$, $\sin ACB$ et $\tan ACB$ :
Si le triangle était rectangle en A, on aurait : $$\cos ACB = \frac{AC}{BC}, \quad \sin ACB = \frac{AB}{BC}, \quad \tan ACB = \frac{AB}{AC}.$$

Utiliser les relations trigonométriques fondamentales et les angles complémentaires.

• $\cos 30^\circ = \sin 60^\circ$
• $\sin 47^\circ = \cos 43^\circ$
• $\tan 52^\circ = \cot 38^\circ$
• $\cos 80^\circ \times \sin 10^\circ = \sin^2 10^\circ$
• $\tan 25^\circ \times \tan 65^\circ = 1$

Utiliser les identités trigonométriques pour simplifier les expressions.

1. Simplification de A :
   $A = \cos 35^\circ \times \sin 55^\circ = \cos 35^\circ \times \cos 35^\circ = \cos^2 35^\circ$
2. Simplification de B :
   $B = (\sin 40^\circ - \cos 50^\circ)^2 + 2\cos 40^\circ \times \sin 50^\circ = \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1$
3. Simplification de C :
   $C = 2\tan^2 60^\circ + 4\tan 45^\circ = 2 \times 3 + 4 \times 1 = 10$
4. Simplification de D :
   $D = \frac{1}{\tan^3 54^\circ + 1} = \frac{1}{\tan^3 54^\circ + \tan^3 36^\circ} = \frac{1}{1} = 1$